3. Пути и кривые.

Определение 1. Путем у мы будем называть непрерывное отображение отрезка действительной оси в С (или С). Иными словами, путь — это комплекснозначная функция действительного аргумента

непрерывная в каждой точке в следующем смысле: для любого существует окрестность для всех точек которой если Точки называются концами пути (если , то а — началом, концом); путь называется замкнутым, если Будем говорить, что путь лежит на множестве если для всех

В некоторых вопросах удобно различать понятия пути и кривой. Чтобы ввести последнее, условимся называть два пути

эквивалентными если существует непрерывная возрастающая функция

такая, что для всех Нетрудно проверить, что это отношение удовлетворяет обычным аксиомам эквивалентности: рефлексивности симметричности (если то ) и транзитивности (если , то Мы будем говорить, что путь 2 получается из заменой параметра (1).

Пример. Рассмотрим пути

Рис. 2.

Множество значений во всех случаях одинаково — это отрезок [0, 1]. Однако лишь пути не эквивалентны этим двум и не эквивалентны друг другу — в них отрезок [0, 1] обходится иначе, чем в первых двух (рис. 2). Можно сказать, что эквивалентны пути который получается из изменением ориентации (об этом см. ниже в .

Определение 2. Кривой называется класс путей, эквивалентных в приведенном выше смысле. Иногда, если это не вызовет недоразумений, мы будем понимать под кривой множество точек которое можно представить как образ отрезка при каком-либо непрерывном отображении

В дальнейшем нам придется вводить на рассматриваемые пути и кривые дополнительные ограничения. Будем называть путь жордановым, если отображение непрерывно и взаимно однозначно. Определение замкнутого жорданова пути предоставляется читателю.

Путь называется непрерывно дифференцируемым, если в каждой точке существует непрерывная производная производной функции в точке понимается а в концах отрезка — такая же комбинация соответствующих односторонних производных). Непрерывно дифференцируемый путь называется гладким, если при всех это условие вводится для избежания особых точек. Путь называется кусочно гладким, если функция непрерывна на и можно разбить на конечное число (замкнутых) отрезков таких, что сужение на каждый из этих отрезков определяет гладкий путь. Путь называется спрямляемым, если почти всюду на существует абсолютно интегрируемая по Лебегу (т. е. существует

— длина пути). Всякий кусочно гладкий путь спрямляем.

Рис. 3.

В дальнейшем мы будем также пользоваться общепринятыми терминами для описания гладкости функций (в частности, путей): непрерывную функцию будем называть функцией класса непрерывно дифференцируемую — функцией класса и вообще функцию, имеющую в области ее рассмотрения непрерывные производные до порядка включительно, будем называть функцией класса

Пример. Пути из предыдущего примера жордановы, нет. Окружность замкнутый жорданов путь (гладкий); четырехлепестковая роза (рис. 3, a), - замкнутый нежорданов (гладкий); полукубическая парабола (рис. 3, б), — жорданов (непрерывно дифференцируемый кусочно гладкий).

Путь жорданов неспрямляемый (и, следовательно, не кусочно гладкий).

Такие же ограничения можно ввести и на кривые. Жорданова кривая — это класс путей, эквивалентных некоторому жорданову пути (так как замены параметров (1) взаимно однозначны, то из жордановости пути следует жордановость всех эквивалентных ему путей).

Определение гладкой кривой требует некоторых уточнений: мы должны ввести это понятие так, чтобы оно не нарушалось при замене пути, представляющего эту кривую, любым другим эквивалентным ему путем. Так как непрерывная и возрастающая замена параметра (1) может перевести гладкий путь в негладкий, то понятие гладкости не инвариантно по отношению к таким заменам. Поэтому мы должны наложить на преобразование (1) дополнительные условия.

Именно, гладкой кривой мы будем называть класс путей, получающихся из некоторого гладкого пути всевозможными заменами параметра (1), где непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной. Аналогично мы будем поступать при определении кусочно гладкой и спрямляемой кривой. В первом случае мы потребуем, чтобы допустимые замены параметров были непрерывными и всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, имели непрерывную и положительную производную (а в исключительных точках имели односторонние производные). Во втором случае потребуем, чтобы замены параметров осуществлялись возрастающими абсолютно непрерывными функциями

Иногда мы будем пользоваться и другой, геометрической трактовкой понятия кривой и тогда понимать под жордановой, гладкой, кусочно гладкой или спрямляемой кривой множества точек , которые можно представить как образ отрезка при отображениях определяющих соответственно жорданов, гладкий и т. д. путь.