53. Поведение кернфункции на границе.

В этом заключительном пункте мы приведем результаты Хёрмандера, относящиеся к поведению кернфункции области голоморфности на границе области. В их основе лежит утверждение о локальном характере зависимости от области граничного поведения ее кернфункции, которое выводится из теоремы существования Хёрмандера

Теорема 1. Пусть — ограниченная область голоморфности с границей класса Пусть еще точка обладает окрестностью такой, что в существует голоморфная функция которая имеет пик в точке в следующем смысле: 1) где достаточно мало; 2) Тогда кернфункции областей имеют в точке одинаковое граничное поведение, т. е.

Возьмем функцию равную единице в нулю в окрестности и такую, что всюду в будем считать, что определена всюду в и равна нулю вне Для любой функции и любого натурального можно найти функцию так, чтобы

была голоморфной в (мы считаем, что определена всюду в условием, что она равна нулю там, где

В самом деле, условие голоморфности равносильно условию, что там

а так как форма в правой части, очевидно, замкнута, область голоморфности, то по теореме 2 Хёрмандера п. 39 существует решение с оценкой

где С — постоянная, зависящая только от выбора функции учли, что

При любом заданном мы можем выбрать столь большим, чтобы в было

и тогда будем иметь

(мы учли (4) и то, что Так как то в силу неравенства (17) из отсюда следует, что для любой

и поэтому

Выбирая в качестве экстремальную функцию, для которой

(см. п. 51), получим, в частности, для соответствующей

С другой стороны, по неравенству треугольника, а также и (5) мы имеем

(мы учли, что вне D), откуда, пользуясь оценкой (6) и экстремальным свойством кернфункции, находим для любой

Так как кернфункция не возрастает при расширении области, то и утверждение теоремы следует из того, что при

Доказанная теорема позволяет получать локальные оценки кернфункции при помощи замены области элементарными областями. Для наших целей в качестве элементарной области удобно взять эллипсоид

где . Биголоморфное отображение преобразует в шар пользуясь выражением (19) для кернфункции шара и законом ее изменения при биголоморфных отображениях (см. , получаем

Придадим этому результату иную форму. Именно, рассмотрим вместо (7) область

где билинейная форма эрмитова и положительно определена; через мы обозначим матрицу этой формы и через А — эту же матрицу с вычеркнутыми строкой и столбцом. Унитарным преобразованием переменных (которое не меняет кернфункции) мы можем привести матрицу А к

диагональному виду, поэтому с самого начала можно считать, что

где

Если теперь сделать еще преобразование с определителем 1 и поэтому также не изменяющее кернфункцию, то в новых переменных матрица А рассматриваемой билинейной формы будет иметь диагональный вид, причем элемент в последней ее строке (мы учитываем, что

В новых переменных записывается неравенством которое в силу просто проверяемого тождества

можно переписать в виде Мы видим, что представляет собой эллипсоид, и по формуле (8) можем написать

Возвращаясь к старым переменным, получим окончательно

Перейдем к Доказательству основной теоремы.

Теорема 2 (Хермандер). Пусть ограниченная область голоморфности и в окрестности точки.

функция и строго плюрисубгармонична. Тогда

где - произведение собственных значений сужения формы Леви

на аналитическую касательную плоскость в точке .

Без ограничения общности считаем и что является единичным вектором внешней нормали к в окрестности этой точки. Ось направим по внутренней нормали, чтобы было при Тогда по формуле Тейлора в окрестности 0 область запишется неравенством

где Не меняя ничего в теореме, можно заменить еще на т.е. предположить, что в последней формуле Мы обозначим так что будет эрмитовой и положительно определенной. Вблизи точки 0 область описывается неравенством

Теперь мы фиксируем и рассмотрим область

Если где наименьшее из собственных значений матрицы то представляет собой эллипсоид, и по (10) ее кернфункция

где при и 0 при Фиксируем еще окрестность точки 0 и

обозначим по теореме 1 кернфункции Как и эквивалентны при

Так как строго псевдовыпукла в точке 0, то где постоянная. Выбирая точно малую окрестность мы добьемся того, что и в силу монотонности кернфункции будем иметь

Согласно сказанному выше область можно заменить и по (13) будем иметь

Будем считать, что по лучу тогда последнее неравенство примет вид

Теперь мы рассмотрим эллипсоид где достаточно близкие к 0 точки принадлежат ему, поэтому при достаточно малой окрестности точки 0 область Пользуясь опять монотонностью кернфункции и теоремой 1 (в качестве функции фигурирующей в ее условиях, можно взять мы получим вместо (14)

где опять предполагается, что по внутренней нормали к Но в (14) и (15) можно брать сколь угодно малым; поэтому, переходя в этих формулах к пределу при мы получим, что существует

Здесь определитель равен произведению собственных значений формы, которая получается из (12) подстановкой и в силу нашего выбора координатных осей совпадает с сужением (12) на касательную плоскость к в точке

Остается заметить, что рассматриваемый нами предел достигается равномерно по , поэтому он существует при любом способе стремления точки к граничной точке

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)