25. Плюрисубгармонические функции.

Как видно из последнего примера, -выпуклость областей Хартогса из сводится к субгармоничности функций, их определяющих. Оказывается,

что, вообще, существует глубокая связь -выпуклости областей при с субгармоническими, а при с их обобщениями, так называемыми плюрисубгармоническими функциями. Приведем их определение и простейшие свойства.

Определение 1. Действительная функция определенная в окрестности точки называется полунепрерывной сверху в этой точке, если для любого найдется такое, что

или, иначе, если

Функция называется полунепрерывной сверху в области. если она полунепрерывна сверху в каждой точке (для этого необходимо и достаточно, чтобы для любого множество меньших значений было рткрытым).

Полунепрерывные функции со стороны больших значений ведут себя как непрерывные. В частности, на компактах такие функции ограничены сверху и достигают своих наибольших значений (ограниченность снизу и достижение наименьших значений не обязательны).

Совершенно аналогично вводятся полунепрерывные снизу функции, которые ведут себя как непрерывные, так сказать, со стороны меньших значений.

Определение 2. Функция называется плюрисубгармонической в области если: 1) она полунепрерывна сверху в D и 2) для любой точки и для любой аналитической прямой где сужение на эту прямую, т. е. функция является субгармонической на открытом множестве

Плюрисубгармонические функции связаны с голоморфными функциями нескольких переменных так же, как субгармонические с функциями одного переменного: для любой функции голоморфной в области функция

является плюрисубгармонической в этой области. В самом деле, очевидно полунепрерывна сверху в а так как сужение на любую аналитическую прямую является голоморфной функцией от , то сужение на эту прямую

субгармоническая функция. В частности, если то функция (3) плюригармонична.

Из определения видно, что свойства плюрисубгармонических функций просто сводятся к свойствам функций субгармонических. В частности, из теорем, доказанных в п. 46 ч. I, непосредственно получаются следующие утверждения:

1°. Если плюрисубгармоническая в области функция достигает локального максимума в некоторой точке то она постоянна в

2°. Функция, плюрисубгармоническая в некоторой окрестности каждой точки, является плюрисубгармонической в области

3°. Если верхняя огибающая

семейства функций плюрисубгармонических в области полунепрерывна сверху в то она является плюрисубгармонической в этой области.

4°. Для того чтобы функция полунепрерывная сверху, была плюрисубгармонической в области необходимо и достаточно существование для каждой точки и каждого вектора со такого числа что

для всех (критерий плюрисубгармоничности).

Для функций класса можно дать более легко проверяемый критерий. Вспомним, что для субгармоничности функции принадлежащей классу в окрестности точки необходимо и достаточно, чтобы в этой окрестности был неотрицателен ее оператор Лапласа:

(см. задачу 12 к гл. V ч. I). Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, мы найдем, что для сужения функции на аналитическую прямую т. е. для сложной функции

Отсюда получается такой критерий:

Теорема 1. Для плюрисубгармоничности функции принадлежащей классу в некоторой области необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке для любого вектора выполнялось неравенство

где производные берутся в точке

Заметим, что эрмитова форма это та самая форма, которая участвует в теореме Леви — Кшоски из предыдущего пункта. Назовем еще функцию строго плюрисубгармонической в точке если в некоторой окрестности этой точки и для всех со Тогда мы будем иметь следующий результат, указывающий связь плюрисубгарионических функций с выпуклостью в смысле Леви: Теорема 2. Пусть область в некоторой окрестности точки задается условием

где — строго плюрисубгармоническая в функция. Тогда выпукла в смысле Леви в точке .

Утверждение сразу получается из теоремы Леви — Кшоски, если заметить, что для строго плюрисубгармонической функции сужение формы на касательную аналитическую плоскость

положительно для всех

Перейдем к дальнейшему изучению свойств плюрисубгармонических функций. Умножая обе части неравенства (4) на элемент площади сферы и интегрируя по этой сфере, мы найдем

где площадь поверхности сферы (внутренний интеграл не зависит от Простой заменой переменного мы получим отсюда, что для всех достаточно малых

где площадь сферы радиуса

Отсюда точно так же, как в плоском случае (см. п. 46 ч. I), выводится, что любая плюрисубгармоническая функция в области является субгармонической функцией действительных переменных. Это означает, что для всех точек и всех достаточно малых для любой функции гармонической в шаре и непрерывной в В,

Теорема 3. Среднее значение

плюрисубгармонической в окрестности точки функции является возрастающей финкцией от

Согласно (7)

следовательно, достаточно доказать возрастание среднего значения субгармонической в окрестности точки функции и т. е. величины

Пусть наилучшая гармоническая мажоранта функции и в круге (см. п. 46 ч. I). По свойствам.

субгармонических и гармонических функций имеем тогда

Теперь докажем, что произвольную плюрисубгармоническую функцию можно аппроксимировать такими же, но бесконечно дифференцируемыми функциями.

Теорема 4. Для любой функции плюрисубгармонической в области можно построить возрастающую последовательность открытых множеств и убывающую последовательность функций плюрисубгармонических в сходящуюся к в каждой точке

Если то в качестве можно взять последовательность . В общем случае последовательность строится при помощи усреднений. Возьмем функцию

выбрав постоянную с так, чтобы интеграл от К. по всему пространству равнялся 1 (фактически интеграл по шару ибо вне шара Эту функцию мы используем в качестве усредняющего ядра, положив

где элемент -мерного объема и интеграл берется по всему (фактически по единичному шару). Ясно, что каждая функция определена в сжатии области т. е. открытом множестве

где евклидово расстояние. Ясно также, что для любого и что

После замены переменных интеграл (11) примет вид

из которого ясно, что (в самом деле, подинтегральная функция, а следовательно, и интеграл зависят от бесконечно дифференцируемым образом). Пользуясь критерием, который выражается неравенством (4), легко установить плюрисубгармоничность функций для всех и всех достаточно малых

(мы использовали плюрисубгармоничность и неотрицательность ядра

Заменяя где элемент поверхности сферы а затем делая замену переменных мы преобразуем (11) к виду

где среднее значение функции сфере

Теперь из теоремы 3 видно, что функции убывают с ростом

В силу субгармоничности функции ее среднее значение а так как

то из (12) следует, что в любой точке для всех начиная с некоторого. С другой стороны, в силу полунепрерывности функции для любого будет

для всех , достаточно близких к для всех , начиная с некоторого, и для таких из (12) мы получим, что Таким образом, для всех

Замечание. Предел убывающей последовательности субгармонических функций является функцией субгармонической (см. задачу 14 к гл. V ч. I), и это утверждение сразу переносится на плюрисубгармонические функции. Поэтому теорему 4 можно обратить.

В определении плюрисубгармонической функции требуется, чтобы ее сужения на аналитические прямые были функциями субгармоническими. Это свойство допускает следующее усиление:

Теорема 5. Сужение функции плюрисубгармонической в области на любую комплексно -мерную аналитическую поверхность также является плюрисубгармонической функцией на открытом множестве

Для простоты формальных выкладок ограничимся случаем т. е. покажем, что сужение на аналитическую кривую является субгармонической функцией.

Пусть сначала Тогда для по правилу дифференцирования сложных функций в любой точке

Так как плюрисубгармонична, то по теореме 1 форма в правой части неотрицательна, а это и означает, что и субгармоническая функция.

Общий случай сводится к рассмотренному при помощи теоремы 4 и замечания вслед за ней

Следствие. Для сужения на аналитическую поверхность функции плюрисубгармонической в окрестности справедлив принцип максимума.

В частности, для компактной аналитической поверхности (см. п. 23) этот принцип можно сформулировать так:

В заключение проведем сравнение понятий плюрисубгармоничности и выпуклости функций нескольких (действительных) переменных. Мы уже отмечали , что

субгармонические функции являются плоским аналогом выпуклых функций одного переменного. Последние можно определить так: функция называется выпуклой (вниз) на отрезке если для любых двух точек и любого

Чтобы подчеркнуть аналогию с субгармоническими функциями, обозначим через и через линейную функцию, принимающую на концах отрезка те же значения, что и (рис. 107). Тогда условие выпуклости (14) примет вид: для всех

Рис. 107.

Распространим понятие выпуклости на функции нескольких действительных переменных. Функция называется выпуклой в области если ее сужение на любую прямую где является выпуклой функцией на открытом множестве

Условием выпуклости дважды гладкой функции одного переменного является, очевидно, неравенство 0 для всех По правилу дифференцирования сложных функций отсюда получается условие выпуклости функции нескольких переменных квадратичная форма

где производные берутся в точке неотрицательна для всех и всех

Таким образом, плюрисубгармоничность является, так сказать, комплексным аналогом выпуклости. Иными словами, плюрисубгармонические функции получаются из выпуклых заменой действительной структуры комплексной: вместо сужений на действительные (одномерные) прямые надо рассматривать сужения на аналитические (двумерные) прямые и вместо выпуклых функций от субгармонические функции от . Для функций класса такой переход состоит в замене квадратичной формы (15) эрмитовой формой (5).