49. Автоморфизмы пространства.

В п. 36 ч. 1 было доказано, что любой голоморфный гомеоморфизм комплексной плоскости С является отображением на С, т. е. автоморфизмом, и

непременно представляет собой линейное преобразование . В пространственном случае оба этих утверждения оказываются неверными.

В самом деле, пример нелинейного автоморфизма строится совсем просто. Рассмотрим, скажем, отображение

где произвольная нелинейная делая функция одного комплексного переменного (например, полином). Оно голоморфно в взаимно однозначно (ибо из равенства немедленно вытекает, что , а затем, с учетом этого, — что и отображает на (ибо произвольное значение принимается в точке

Интересный пример (нелинейного) голоморфизма на правильную часть был построен П. Фату в 1922 г. Мы предлагаем несколько упрощенный вариант этого примера. Возьмем линейное отображение и рассмотрим функциональное уравнение

где

Покажем прежде всего, что (2) имеет голоморфное решение вида

Для этого заметим, что удовлетворяет уравнению

а при исследовании последнего воспользуемся методом мажорантных рядов. Мы будем писать если для всех (и говорить тогда, что второй ряд мажорирует первый), и обозначим . Имеем

и

следовательно,

Рассмотрим теперь вместо (5) уравнение

оно имеет решение и ряд сходится в окрестности Нетрудно видеть, что поэтому ряд для а значит и для сходится в окрестности точки Но из уравнения (2) видно, что если голоморфна в бикруге то она аналитически продолжается в бикруг а отсюда следует, что целая функция.

Покажем, что искомое отображение можно взять в виде где

Пусть якобиан этого отображения; сравним его с якобианом отображения

(мы воспользовались уравнением Так как при композиции отображений их якобианы перемножаются, то из (7)

а из того, что получаем

Мы получили, что откуда находим

где итерация отображения А. Так как для любого то Но в окрестности начала,

как видно из поэтому следовательно,

Отсюда нетрудно заключить, что гомеоморфизм. В самом деле, пусть, от противного, где точки Тогда имеем но с учетом (2) отсюда следует, что и а это вместе с последним соотношением дает Итак, и итерированием мы получим

Но отображение локально гомеоморфно, ибо при достаточно больших сколь угодно близки к началу, и мы пришли к противоречию.

Остается показать, что принимает не все значения из Прежде всего, ясно, что не принимает значения Действительно, если бы в некоторой точке было то из (2) мы получили бы, что в этой точке и Таким образом, из следует, что и . Итерированием найдем, что и для любого откуда в пределе следует равенство . Но у нас , и противоречие доказывает утверждение.

Более того, не принимает ни одного значения из множества . В самом деле, пусть в некоторой точке имеем Из (2) тогда следует, что

и, далее, что итерации соответственно равны где

Из этих соотношений следуют неравенства

из которых для любой точки сначала при получаем

затем при

и вообще для всех Таким образом, итерадии не могут сходиться к точке при значит, точка а не может приниматься отображением

Множество очевидно, имеет полную размерность, и, значит, пример Фату показывает, что для пары целых функций (с отличным от нуля якобианом, т. е. функционально независимых) не имеет места ни аналог теоремы Пикара, ни даже теоремы Сохоцкого.

В пространстве, как и на плоскости, можно рассматривать линейные преобразования

которые можно записывать в виде

где вектор, а

— квадратная матрица. Линейное преобразование (8) называется невырожденным, если определитель Совокупность невырожденных линейных преобразований в очевидно, составляет группу автоморфизмов этого пространства. Однако в пространственном случае, в отличие от плоского, она является лишь подгруппой группы всех голоморфных автоморфизмов (см. пример в начале пункта).

Добавление вектора геометрически означает сдвиг, а преобразование

которое на плоскости сводится к растяжению с поворотом, в пространстве имеет несколько более сложный геометрический

характер. Напомним основные свойства таких преобразований.

Пространственным аналогом поворота является унитарное преобразование, т. е. преобразование (9), матрица А которого удовлетворяет условиям

Так как из (9) мы имеем

то (9) в том и только том случае является унитарным, когда оно сохраняет длины векторов (т. е. переводит сферы в себя). Доказывается, что в существует ортогональный и нормированный базис, в котором унитарное преобразование сводится к повороту в каждой координатной плоскости:

Пространственным аналогом растяжения является положительно определенное преобразование. Так называется линейное преобразование (9), для которого

для всех и всех Такое преобразование переводит сферы в эллипсоиды, причем в существует ортогональный и нормированный базис, в котором оно сводится к растяжению в каждой координатной плоскости:

Напомним, наконец, что любое невырожденное линейное преобразование (9) можно представить в виде композиции невырожденного положительно определенного и унитарного преобразований (или, что то же самое, любую матрицу в виде произведения положительно определенной матрицы для которой и унитарной матрицы Это представление аналогично разложению плоского преобразования на растяжение и поворот (или, что то же самое, представлению числа а в полярной форме:

Невырожденные преобразования (9) образуют группу, которая, очевидно, зависит от комплексных, т. е. от действительных, параметров. Унитарные преобразования составляют ее подгруппу, которая зависит от действительных

параметров (в самом деле, условия (10) содержат действительных равенств). Такую же подгруппу составляют и невырожденные положительно определенные преобразования.

В заключение несколько слов об автоморфизмах компактифицированных комплексных пространств. Как известно, полную группу автоморфизмов замкнутой плоскости С составляют невырожденные дробно-линейные преобразования Для пространства теории функций их аналогом служат преобразования

а для комплексного проективного пространства — невырожденные проективные преобразования

(условия невырождения мы не выписываем; условие пропорциональности всех знаменателей формул (13) — мы их берем даже одинаковыми, включая множитель пропорциональности в числители, — необходимо для того, чтобы обратное отображение не содержало квадратичных членов).