35. Группы когомологий.

Начнем с определения этих групп для покрытий. Как мы сейчас увидим, это определение обобщает определение, которое было дано в п. 31 при изучении аддитивной проблемы Кузена. Пусть X — топологическое пространство и над ним задан пучок абелевых групп Рассмотрим открытое покрытие а пространствах и для любого целого числа построим мультииндекс

символом

обозначим пересечение множеств покрытия.

Определение 1. Коцепью порядка с коэффициентами в пучке для данного покрытия мы будем называть функцию которая каждому мультииндексу а относит некоторое сечение пучка 3 над и притом так, что является кососимметрической функцией индексов составляющих . Если пусто, то мы будем считать, что Множество всех коцепей порядка с коэффициентами в 3 образует набор групп, который мы обозначим символом

Определим теперь кограничный оператор 6, который каждой коцепи порядка относит коцепь порядка по правилу

(справа индекс опускается). Отображение

очевидно, является гомоморфизмом соответствующих групп коцепей.

Частными случаями кограничного оператора для пучка форм являются операторы дифференцирования (по всем переменным (по переменным 2). Как и для этих операторов (см. п. 13), в общем случае доказывается, что квадрат оператора равен 0:

Определение. 2. Коциклом порядка называется коцепь для которой совокупность

называется группой коциклов (с коэффициентами в 3). Коцикл называется когомологичным нулю или кограницей, если существует коцепь такая, что группу таких коциклов мы будем обозначать символом .

Она является подгруппой группы (5), и факторгруппа

называется группой когомологий (с коэффициентами в для покрытия

В частном случае коцепи определены на пересечениях множеств покрытия так, (ко-сосимметричность по индексам). Кограничный оператор переводит . В коцепи порядка 2 такие, Поэтому коциклами будут такие коцепи, для которых еще Кограницей коцепи порядка 0 является коцепь следовательно, когомологичными коциклами первого порядка будут те, для которых Мы видим, что введенная здесь терминология при совпадает с той, которую мы рассматривали в п. 31, а определенная там группа когомологий есть группа

Рассмотрим еще группу когомологий нулевого порядка. Коциклами, как показано выше, будут коцепи для которых в каждом пересечении Следовательно, каждый коцикл нулевого порядка определяет сечение пучка над всем пространством X, т. е. глобальное сечение — элемент группы сужение которого на каждое совпадает с Коцепью — порядка по определению считается пустое множество, и, значит, кограницей нулевого порядка является лишь нулевой коцикл. Факторизация по нему тривиальна, следовательно, справедлива

Теорема 1. Нулевая группа когомологий с коэффициентами в пучке над пространством X для любого покрытия изоморфна группе глобальных сечений этого пучка:

Теперь мы хотим перейти от групп когомологий для покрытий к группам когомологий самого пространства. Для этого нужно построить процесс локализации, аналогичный переходу от предпучков к пучкам в предыдущем пункте. Именно, мы частично упорядочим множество покрытий по отношению включения, определим гомоморфизмы, связывающие группы для двух покрытий, из которых одно мельче другого, и при помощи таких гомоморфизмов перейдем к топологическому пределу.

Пусть даны два открытых покрытия будем говорить, что второе покрытие мельче

первого (обозначение: , если существует отображение

такое, что для любого При заданном каждой коцепи можно сопоставить коцепь полагая для каждого мультииндекса значение равным сужению на Так как у нас для любой коцепи (здесь кограничный оператор), то индуцирует отображение

которое, очевидно, является гомоморфизмом групп.

Лемма. Если то гомоморфизм не зависит от выбора отображения (8).

Для утверждение очевидно в силу теоремы 1, поэтому можно считать, что 1. Пусть наряду с задано еще отображение такое, что для всех Определим отображение положив для каждого с упорядоченными индексами и каждой коцепи

Прямой подсчет показывает, что для всех

В частности, если - коцикл , то а значит, принадлежат одному классу эквивалентности при факторизации по кограницам. Отсюда и видно, что соответствует один и тот же гомоморфизм группы

По этой лемме зависит лишь от покрытий (при заданных X и 3). Из нее видно также, что он удовлетворяет условию транзитивности: если то

Таким образом, мы действительно имеем ту же ситуацию, что и в предыдущем пункте (с той лишь разницей, что вместо множеств здесь рассматриваются системы множеств — покрытия), и можем осуществить желаемую локализацию.

Для этого рассмотрим всевозможные открытые покрытия пространства X и условимся считать элементы эквивалентными, если существует покрытие такое, что притом

Определение 3. Множество классов эквивалентности по этому отношению, т. е.

называется группой когомологий пространства X (с коэффициентами в пучке

Замечание. Из этого определения видно, что если для пространства X существуют сколь угодно мелкие покрытия для которых то для этого пространства и

36. Точные последовательности пучков. Начнем с понятия отображения пучков, которое вполне аналогично понятию отображения областей наложения над (см. п. 28). Пусть даны два пучка и над одним и тем же пространством Отображением пучков

мы назовем такое непрерывное отображение топологического пространства для которого всюду в

Понятие отображения пучков введено так, что оно сохраняет стебли: для любой точки имеем Оно сохраняет также и сечения: если - произвольное сечение пучка над открытым множеством то отображение

непрерывно в тождественно (по определению сечения но это означает, что

Отображение называется гомоморфизмом пучков, если оно является отображением этих пучков и, кроме того, сохраняет алгебраические операции во всех стеблях. Гомоморфизм пучков называется их изоморфизмом, если является взаимно однозначным отображением на

Далее, пусть пучок абелевых групп над X и множество а 3, будем говорить, что является подпучком пучка если: 1) открыто в , 2) и 3) для любой точки стебель является подгруппой группы

Если является подпучком пучка абелевых групп , то для каждой точки базы X можно образовать факторгруппу объединение таких факторгрупп для всех наделенное фактортопологией, называется фактор-пучком на X и обозначается символом

Примеры.

1. Пусть 0 — тривиальный пучок над комплексно аналитическим многообразием (в каждой точке стебель этого пучка состоит из одного нуля), С—постоянный пучок, пучок ростков голоморфных, а пучок ростков бесконечно дифференцируемых функций над тем же Здесь каждый предыдущий пучок является подпучком следующего (проверьте условие открытости из определения подпучка).

2. Пучок над комплексно аналитическим многообразием является подпучком пучка ростков мероморфных функций на Будем рассматривать как пучки аддитивных групп (относительно сложения); тогда для любой стебель (др будет подгруппой и можно образовать фактор-пучок

Элементами этого факторпучка являются классы ростков мероморфных в точке функций, разность между которыми является ростком голоморфной функции. (Иными словами, элементами являются классы эквивалентных ростков где считаются эквивалентными, если Как мы скоро увидим, этот пучок связан с первой проблемой Кузена.

3. Удалим из пучка ростки, соответствующие нулевому сечению (т. е. функции, тождественно равной нулю на тогда можно рассматривать как пучок мультипликативных групп с умножением как групповой операцией. Пучок 6 пусть состоит из обратимых элементов колец т. е. элементов, соответствующих функциям, которые не обращаются в 0 в точке Очевидно, является подпучком и можно образовать факторпучок

Элементами его служат классы ростков мероморфных функций, не равных тождественно нулю, частное которых является ростком голоморфной функции, не обращающейся в нуль (иными словами, это классы эквивалентных ростков где считаются эквивалентными, если Как мы скоро увидим, этот пучок связан со второй проблемой Кузена.

Переходим к определению основного в этом пункте понятия точной последовательности пучков. Пусть даны два гомоморфизма пучков абелевых групп:

будем говорить, что последовательность (6) точна в если

Напомним, что символом обозначается подгруппа элементов которые являются образами элементов (образ гомоморфизма а символом подгруппа из образованная элементами, которые переводит в нуль группы (ядро гомоморфизма Таким образом, точность последовательности (6) означает, что переводит в 0 те и только те элементы, которые приносит из

Последовательность из любого числа пучков абелевых групп

называется точной, если она точна в каждом

Примеры. 1. Точность последовательности

где крайние элементы — тривиальные пучки (все стебли которых - группы, состоящие из одного нуля), отображение вложения, означает, что является изоморфизмом

на . В самом деле, так как то отображение взаимно однозначно, а так как то это отображение на

2. Последовательность

где — подпучок отображение вложения, а естественный гомоморфизм, который каждому элементу из сопоставляет класс эквивалентности, его содержащий, точна. В самом деле, точность (10) в 3 следует из того, что взаимно однозначно, в члене из того, что преобразует в нуль, на месте из того, что отображение на.

3. Вообще, точность последовательности пучков абелевых групп

означает, что гомоморфизм на и

образ группы изоморфен ее факторгруппе по ядру

В заключение приведем идею доказательства одной из двух теорем, на которых основываются приложения теории пучков в анализе. О второй из этих теорем мы будем говорить в следующем параграфе.

Теорема I (о точных последовательностях). Пусть пространство X хаусдорфово и имеет счетную базу открытых множеств. Тогда всякой точной последовательности пучков над X

соответствует точная последовательность групп когомологий

и так далее, по всем размерностям.

Прежде всего сопоставим гомоморфизмам пучков гомоморфизмы соответствующих групп когомологий. Это делается так: возьмем произвольное открытое множество и определим гомоморфизм сечений , положив

в каждой точке для любой От сечений естественным образом переходим к коцепям, и тогда возникает гомоморфизм Так как коммутирует с оператором кограницы (имеем ), то по можно построить гомоморфизм групп когомологий для покрытий), а от него при помощи топологического предела перейти к гомоморфизму групп когомологий самого пространства Точно так же по строится гомоморфизм

Остается построить гомоморфизм повышающий размерность группы. Для этого рассмотрим какое-либо покрытие и последовательность групп коцепей

Нетрудно проверить, что она точна в силу точности последовательности (13). Однако вообще говоря, не является отображением на и мы обозначим Сейчас мы хотим построить отображение где подгруппа коциклов из подгруппа кограниц, в группу Для этого возьмем коцикл существует коцепь такая, что Она не является коциклом, но . В силу точности (15), где заменено на найдется такая, что причем коцикл, ибо и, значит, так как отображение взаимно однозначно. Таким образом, мы построили отображение

группы Нетрудно проверить, что при этом когомологичные друг другу циклы переходят в когомологичные, так что фактически построен гомоморфизм Наконец, в условиях, наложенных на пространство X, можно доказать, что топологический предел групп будет совпадать с и мы придем к нужному гомоморфизму

Точность полученной последовательности (14) ясна из построений