7. Степенные ряды.

Здесь мы рассмотрим основные вопросы, связанные с разложением голоморфных функций в ряды. В п. 5 мы доказали, что любую функцию, голоморфную в поликруге можно в этом поликруге разложить в кратный степенной ряд с центром в . Возникает вопрос о множестве точек сходимости такого ряда. По аналогии с функциями одного переменного хочется ожидать, что таким множеством будет поликруг, дополненный некоторой совокупностью точек его границы. Однако самые простые примеры показывают, что дело обстоит иначе.

Примеры. Множество сходимости степенного ряда

( - скалярный индекс) в представляет собой полную область Рейнхарта Для ряда

множеством сходимости в является бикруг дополненный аналитической плоскостью

Из последнего примера видно, что теорема Абеля в обычной формулировке (п. 19 ч. I) на функции нескольких переменных не переносится. Однако можно получить ее аналог, если вместо множества сходимости рассматривать его открытое ядро, т. е. совокупность внутренних точек этого множества.

Определение. Областью сходимости степенного ряда

называется открытое ядро множества точек в которых этот ряд сходится при каком-либо порядке следования его членов.

Из леммы 3° п. 3 аналог теоремы Абеля выводится в следующем виде:

Теорема 1. Если точка 2° принадлежит области сходимости ряда (3), то замкнутый поликруг

также принадлежит и ряд (3) сходится в абсолютно и равномерно.

Так как открыто, существует точка такая, что и ряд (3) сходится в этой точке. Так как по цитированной лемме ряд (3) сходится в абсолютно и равномерно

Теорему 1 можно сформулировать еще и так: область сходимости ряда (3) является полной областью Рейнхарта с центром в . Таким образом, полные области Рейнхарта в случае функций нескольких переменных играют ту же роль, что круги в случае одного переменного. Эту аналогию подчеркивает и следующая

Теорема 2. Любая функция голоморфная в полной области Рейнхарта с центром в а, представляется в этой области тейлоровским разложением

Пусть 2° — произвольная точка тогда поликруг и по лемме функция представляется в тейлоровским разложением с центром в а. Коэффициенты последнего вычисляются через производные в точке а и, значит, совпадают с т. е. это разложение совпадает с (4)

Естественно возникает вопрос: всякая ли полная область Рейнхарта является областью сходимости какого-либо степенного ряда? Ответ на него отрицателен, ибо, как мы сейчас докажем, области сходимости обладают некоторым дополнительным свойством.

Определение. Обозначим через

отображение множества в пространство логарифмическим образом множества мы будем называть множество где Множество называется логарифмически выпуклым, если его логарифмический образ является выпуклым множеством в .

Пример. Множество диаграмма Рейнхарта которого изображена на рис. 83, а, не является логарифмически выпуклым; его логарифмический образ приведен на рис. 83, б. Логарифмически выпуклую оболочку (т. е. пересечение всех логарифмически выпуклых множеств, содержащих мы получим, если рассмотрим прообраз выпуклой оболочки множества Диаграмма Рейнхарта такой оболочки отличается от сегментом, ограниченным отрезком гиперболы (изображена пунктиром на рис. 83).

Рис. 83.

Теорема 3. Область сходимости степенного ряда (3) логарифмически выпукла.

Без ограничения общности считаем Нам нужно доказать, что если — произвольные точки то и для любого существуют точки такие, что точки принадлежат Рассмотрим теперь точку и ее прообраз где Имеем

а так как то ряд (3) в этих точках сходится и выра жения в квадратных скобках ограничены; следовательно, и члены ограничены. По лемме отсюда вытекает, что ибо у нас и поэтому Но это означает, что

В дальнейшем мы докажем, что это дополнительное свойство уже характеризует области сходимости: любая логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта является областью сходимости некоторого степенного ряда (см. п. 27).

А сейчас отметим одно важное обстоятельство. Рассмотрим полную, но не логарифмически выпуклую область Рейнхарта (скажем, из приведенного выше примера). По теореме 2 любую функцию можно представить в степенным рядом. Но по теореме 3 область сходимости этого ряда логарифмически выпукла, следовательно, он сходится по крайней мере в логарифмически выпуклой оболочке области Сумма нашего ряда осуществляет аналитическое продолжение из Мы наблюдаем эффект, принципиально отличающий пространственный случай от плоского: в то время как в любая область является областью голоморфности некоторой функции (см. существуют области, из которых каждая голоморфная функция непременно аналитически продолжается в более широкую область. Этот эффект обязательного аналитического продолжения мы подробно рассмотрим в гл. III.

Рис. 84.

Приведем теперь более конструктивный метод описания области сходимости данного степенного ряда (3). Эта область исчерпывается поликругами, которые называются поликругами сходимости. Например, для ряда (1), областью сходимости которого служит такими поликругами будут (рис. 84). Приведем точное

Определение. Поликруг называется поликругом сходимости ряда (3), если но в любом поликруге где и по крайней мере одно неравенство строгое, имеются точки, в которых, ряд (3) расходится. Радиусы этого поликруга называются сопряженными радиусами сходимости.

Теорема 4. Сопряженные радиусы сходимости ряда (3) удовлетворяют соотношению

[(пространственный аналог формулы Коши — Адамара).

Положим при точка принадлежит поликругу сходимости ряд (3) сходится в U абсолютно, и после перегруппировки членов

мы получим ряд по степеням , сходящийся при При этот ряд расходится, ибо в противном случае по лемме ряд сходился бы в некотором поликруге, содержащем . Поэтому по формуле Коши-Адамара для рядов с одним переменным

В группе членов ряда (3) с данным выберем максимальный член Пользуясь очевидной оценкой

и тем, что при мы можем переписать (7) в виде соотношения

равносильного (6)

Соотношение (6), которое можно записать в виде уравнения

связывающего сопряженные радиусы сходимости ряда (3), определяет границу области которая изображает область сходимости на диаграмме Рейнхарта. Подставив в получим уравнение

границы логарифмического образа 5, некоторой выпуклой области в пространстве

8. Ряды Хартогса и Лорана. Кроме степенных рядов в теории функций нескольких комплексных переменных рассматривают и ряды других типов. Важнейшими из них являются так называемые ряды Хартогса. Рассмотрим степенной ряд

и в произвольной точке его области сходимости перегруппируем члены этого ряда, расположив их по степеням одной из разностей скажем законно в силу абсолютной сходимости). Мы получим ряд

(цскалярный индекс), коэффициенты которого голоморфны в проекции области 5 в пространство

Рис. 85.

Заметим, что такая перегруппировка членов ряда может привести к расширению области сходимости. Например, степенной ряд

сходится в бикруге После перегруппировки членов получаем ряд

сходящийся в области Определение. Ряд вида (2), коэффициенты которого — голоморфные функции называется рядом Хартогса с плоскостью центров Областью сходимости этого ряда называется открытое ядро множества точек таких, что ряд (2) с коэффициентами сходится в точке и коэффициенты голоморфны в точке Радиус сходимости этого ряда (рассматриваемого как степенной при фиксированном называется радиусом Хартогса.

Так как вместе с каждой точкой 2° области сходимости Я ряда Хартогса принадлежат и все точки где то всегда является полной областью Хартогса с плоскостью симметрии (см. рис. 85, где Области этого типа играют для рядов Хартогса такую же роль, как области Рейнхарта для степенных рядов. В частности, справедлива

Теорема 1. Любая функция голоморфная в полной области Хартогса с плоскостью симметрии

представляется в разложением

с коэффициентами, голоморфными в проекции этой области в

Вместе с каждой точкой z области принадлежит и поликруг где достаточно малый поликруг с центром в проекции точки круг с центром содержащий точку функция голоморфна по при любом следовательно, разлагается в ряд (3) с коэффициентами

Эти коэффициенты, однако, определены и голоморфны не только в но и во всей проекции области поэтому и разложение (3) действует во всей области

Далее, не каждая полная область Хартогса оказывается областью сходимости некоторого ряда Хартогса: в мы покажем, что области сходимости характеризуются дополнительным свойством, которым должен обладать радиус

В заключение опишем вкратце пространственные аналоги рядов Лорана.

Теорема 2. Всякую функцию голоморфную в произведении круговых колец можно представить в П в виде кратного ряда Лорана

в котором суммирование распространяется на все целочисленные векторы а коэффициенты

где произведение окружностей

Разложение (4) получается обычным образом: мы выбираем так, чтобы и функцию в произведении колец представляем интегральной формулой Коши:

Здесь - набор, состоящий из уепп, где окружность, ориентированная положительно, если и отрицательно, если суммирование распространяется на все наборы из знаков. Далее мы разлагаем в соответствующие геометрические прогрессии, интегрируем почленно и заменяем интегралы по интегралами по (с изменением знака, если

Особенно интересны лорановские разложения в окрестности бесконечных точек пространства Они характеризуются тем, что радиусы с индексами, соответствующими бесконечным координатам точки, равны бесконечности. Такими разложениями, в частности, представляются функции, голоморфные в бесконечных точках Напишем для примера разложение функции голоморфной в точке , где определению функция голоморфна в точке значит, представляется рядом Тейлора

сходящимся в некотором бикруге Подставляя сюда получим нужное разложение Лорана функции

оно сходится в окрестности точки

Области сходимости рядов Лорана (4) являются, очевидно, областями Рейнхарта. Кроме того, если область сходимости содержит какую-либо точку с координатой то в разложении (4) не может быть отрицательных степеней разности т. е. относительно этой разности (4) является тейлоровским разложением. Поэтому области сходимости рядов Лорана являются так называемыми относительно полными областями Рейнхарта. Область Рейнхарта называют относительно полной, если она при фиксированном либо не пересекается с плоскостью либо вместе с каждой точкой содержит и все точки 2, для которых а остальные координаты те же, что 2° (это условие выполняется для всех

Таким образом, если область Рейнхарта не пересекается ни с одной из плоскостей то условие относительной полноты не накладывает никаких ограничений, пересечение же с каждой из таких областей влечет за собой дополнительное условие. Для примера на рис. 86, а и б изображены относительно полные, а на рис. 86, в — неполная область Рейнхарта.

Рис. 86.

Так же как в случае рядов Тейлора, доказывается, что области сходимости рядов Лорана являются еще логарифмически выпуклыми. Всякая функция голоморфная в относительно полной области Рейнхарта представляется в рядом Лорана (4) (и такое представление осуществляет аналитическое продолжение в логарифмически выпуклую оболочку если не логарифмически выпукла).

Рис. 87.

Можно рассматривать и другой аналог рядов Лорана. Именно, всякую функцию голоморфную в области Хартогса вида где область из (рис. 87), можно представить в этой области рядом Хартогса — Лорана

где Области сходимости таких рядов характеризуются дополнительными свойствами радиусов которые мы укажем в

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)