12. Показательная функция.

Мы определим функцию тем же предельным соотношением, которым она определяется в действительном анализе:

Докажем существование этого предела для любого для этого положим и заметим, что по правилам возведения в степень

Отсюда видно, что существуют

а значит, существует и предел (1), который записывается в тригонометрической форме так:

Таким образом,

Полагая мы получим формулу Эйлера

которой неоднократно пользовались. Однако до сих пор символ мы употребляли для сокращенного обозначения правой части, а теперь можем понимать его как мнимую степень числа

Перечислим основные свойства показательной функции.

1°. Функция голоморфна во всей плоскости . В самом деле, полагая находим из (2), что функции и и дифференцируемы в смысле всюду в С, и всюду в С выполняются условия комплексной дифференцируемости

Таким образом, функция (2) определяет продолжение действительной показательной функции с оси на всю

плоскость С, причем продолженная функция оказывается голоморфной. Ниже (в п. 21) мы покажем, что такое продолжение определяется единственным образом.

2°. Для функции сохраняется обычная формула дифференцирования. В самом деле, производную, когда она существует, можно вычислять в направлении оси Поэтому

Показательная функция не обращается в нуль, ибо поэтому и отображение конформно в каждой точке С.

3°. Для функции сохраняется обычная теорема сложения

В самом деле, полагая и пользуясь формулами сложения действительных показательной и тригонометрических функций, получаем

Таким образом, сложению комплексных чисел соответствует умножение их образов Иными словами, показательная функция преобразует аддитивную группу поля комплексных чисел в мультипликативную группу этого поля: при отображении

4°. Функция периодическая, с мнимым основным периодом . В самом деле, так как по формуле Эйлера то по теореме сложения для любого имеем

С другой стороны, пусть умножая обе части на получаем откуда, полагая имеем Но тогда т. е. т. е. где целое число. Таким образом, действительно является основным периодом.

Из этого рассуждения видно также, что для однолистности отображения в какой-либо области необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала ни одной пары точек, связанных соотношением

Примером области, удовлетворяющей этому условию, является полоса . Полагая мы согласно (3) запишем отображение в виде

Отсюда видно, что это отображение преобразует прямые в лучи , а отрезки в окружности с выколотой точкой (рис. 20).

Рис. 20.

Полоса преобразуется, следовательно, в плоскость с выброшенной положительной полуосью. Вдвое более узкая полоса преобразуется при этом в верхнюю полуплоскость