16. Гомотопия. Теорема Коши.

Эта основная в интегральном исчислении теорема состоит в том, что интеграл от голоморфной в некоторой области функции по любому замкнутому пути, который непрерывной деформацией внутри области стягивается в точку, равен нулю. Она, таким образом, обобщает основную лемму интегрального исчисления, доказанную в предыдущем пункте. Мы получим теорему Коши как следствие более общей теоремы об инвариантности интеграла от голоморфных функций относительно непрерывных деформаций пути интегрирования (теорема 1). Перейдем к точным формулировкам и доказательствам.

Для простоты предположим, что для всех рассматриваемых путей параметр меняется на одном и том же отрезке Это предположение не ограничивает общности, ибо ему всегда можно удовлетворить при помощи допустимой замены параметра, которая заменит путь ему эквивалентным и сохранит значение интеграла вдоль пути.

Рис. 28.

Определение 1. Два пути с общими концами называются гомотопными в области если существует непрерывное отображение (через мы обозначаем произведение отрезков, т. е. квадрат , такое, что

Два замкнутых пути называются гомотопными в области если существует такое непрерывное отображение что

При фиксированном функция определяет путь в области причем такие пути непрерывно меняются при изменении и их семейство «связывает» в пути (на рис. 28 эти «промежуточные» пути изображены пунктиром). Таким образом, гомотопность двух путей в области означает возможность непрерывно деформировать их друг в друга внутри На рис. 28 пути гомотопны, а у не гомотопен им.

Гомотопность принято обозначать символом так что если путь гомотопен пути мы будем писать

Очевидно, что гомотопность удовлетворяет обычным аксиомам эквивалентности (рефлексивности, симметричности и транзитивности). Поэтому в данной области все пути с общими концами или все замкнутые пути можно разбить на классы, каждый из которых объединяет все гомотопные друг другу пути; такие классы называются гомотопическими классами.

Среди классов замкнутых путей выделяется класс путей, гомотопных нулю. Говорят, что замкнутый путь у гомотопен нулю в области если существует непрерывное отображение удовлетворяющее условиям (2) и такое, что (это означает, что у непрерывной деформацией внутри стягивается в точку). Можно доказать, что два пути с общими концами гомотопны друг другу тогда и только тогда, когда их разность (т. е. объединение путей гомотопна нулю.

Рис. 29.

В односвязной области любой замкнутый путь гомотопен нулю и, значит, любые два пути с общими концами гомотопны друг другу (это свойство можно было бы принять за определение односвязности). Поэтому в односвязных областях разбиение на гомотопические классы тривиально.

Так как гомотопность двух путей, очевидно, не нарушается при допустимых заменах параметра, то это понятие распространяется на кривые. Именно, две кривые (с общими концами или замкнутые) называются гомотопными в области гомотопны пути представляющие соответственно эти кривые.

Переходим к доказательству теоремы об инвариантности интеграла при гомотопных деформациях пути интегрирования.

Теорема 1. Если функция , а два пути, гомотопные друг другу в как пути с общими концами или как замкнутые пути, то

Будем считать, что отрезком изменения параметра для путей служит ; пусть функция, определяющая их гомотопию (см. определение 1). Построим систему квадратиков покрывающих квадрат так, что каждый пересекается с каждым соседним квадратиком (рис, 29). В силу равномерной

непрерывности функции квадратики можно выбрать столь мелкими, чтобы образ содержался в круге в котором функция имеет первообразную (мы пользуемся тем, что локально каждая голоморфная функция имеет первообразную). Фиксируем индекс и будем поступать, как при доказательстве теоремы 3 из предыдущего пункта. Выберем произвольно первообразную действующую в а первообразную действующую в подберем так, чтобы в пересечении пользуемся тем, что две первообразные в этом пересечении могут отличаться лишь постоянным слагаемым). Точно так же подбираем первообразные что и строим функцию

Функция очевидно, непрерывна в прямоугольнике и определена с точностью до постоянного слагаемого. Мы выбираем произвольно подбираем так, чтобы в пересечении Точно так же подбираем функции (так, ) и строим функцию

При фиксированном функция очевидно, является первообразной вдоль пути поэтому по формуле Ньютона — Лейбница

Далее разберем отдельно два случая;

а) Пути имеют общие концы. В этом случае по определению гомотопии для любого имеем Следовательно, функции локально постоянны в каждой точке значит, они постоянны на этом отрезке. Таким образом, и из формулы (6) мы получаем (3).

б) Пути замкнуты. Так как в этом случае

1) для любого то локально постоянна в каждой точке следовательно, постоянна на всем этом отрезке. Поэтому из (6) опять вытекает

Замечание. Первоначально мы ввели понятие интеграла для пути и затем убедились в том, что фактически интеграл определяется не путем, а кривой, т. е. классом эквивалентных путей. Теорема 1 показывает, что в случае голоморфных функций можно пойти дальше и утверждать, что в этом случае интеграл определяется не кривой, а гомотопическим классом, которому принадлежит эта кривая.

Из доказанной теоремы просто получается Теорема 2 (Коши). Если функция то ее интеграл по любому замкнутому пути гомотопному нулю в этой области, равен нулю:

Так как то этот путь можно в гомотопно деформировать в замкнутый путь лежащий в некотором круге По теореме 3 предыдущего пункта функция имеет в первообразную следовательно, первообразной вдоль будет функция Так как (путь замкнут), то по формуле Ньютона — Лейбница

Но по теореме 1 интегралы от по у и равны, следовательно, интеграл от по у равен нулю

Так как в односвязной области каждый замкнутый путь гомотопен нулю, то для таких областей теорема Коши формулируется особенно просто:

Теорема 3 (Коши). Если функция голоморфна в односвязной области то ее интеграл вдоль любого замкнутого пути равен нулю.

Ввиду важности этой теоремы приведем еще ее элементарное доказательство в двух дополнительных предположениях: 1) производная непрерывна и 2) у — гладкий жорданов путь.

Из второго предположения следует, что у является границей области принадлежащей области в силу односвязности последней. Первое предположение позволяет применить известную из анализа формулу Римана Грина

при выводе которой требуется непрерывность в частных производных функций здесь обозначается граница области проходимая против часовой стрелки). Применяя эту формулу к действительной и мнимой частям интеграла

мы получим

Пользуясь символом комплексной производной (см. п. 6), мы перепишем последнее соотношение в виде формулы

которую можно рассматривать как комплексную запись формулы Римана Грина.

Так как в силу голоморфности то теорема Коши (в сделанных дополнительных предположениях) непосредственно вытекает из этой формулы.

Из теоремы Коши (в последней формулировке) просто выводится глобальная теорема о существовании первообразной для односвязной области:

Теорема 4. Всякая функция голоморфная в односвязной области имеет в этой области первообразную.

Рис. 30.

Покажем, что в интеграл от по незамкнутому пути не зависит от выбора этого пути и полностью определяется его началом и концом. В самом деле, пусть два пути, соединяющие в точки а и (рис. 30).

Без ограничения общности можно считать, что для параметр меняется на отрезке а для на отрезке Обозначим через у объединение путей замкнутый путь, лежащий в области По свойствам интегралов

но по теореме 3 интеграл от по любому замкнутому пути равен нулю, отсюда и следует наше утверждение.

Фиксируем теперь точку и будем считать а началом пути, лежащего в конец которого будем считать произвольным. Интеграл от по этому пути (который мы обозначим через является функцией точки

Повторяя в точности рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2 из предыдущего пункта, мы убедимся в том, что F голоморфна в и что в каждой точке т. е. что F является первообразной в области

Пример функции области (см. замечание 2 в предыдущем пункте) показывает, что условие односвязности области в этой теореме существенно: для Многосвязных областей глобальная теорема существования первообразной, вообще говоря, неверна.