13. Дифференцирование форм.

Пусть многообразие размерности класса и — гладкая форма степени заданная на Определение 1. Дифференциал формы со определяется в локальных координатах следующим образом; если в этих координатах

то в них

где дифференциал функции

Отметим два простых свойства дифференцирования форм:

где степень формы

Первое свойство очевидно. Учитывая его, второе свойство достаточно доказать для случая, когда перемножаемые формы являются одночленами:

В этом случае мы имеем и

что и требуется.

Теорема 1. Для любой формы класса квадрат оператора равен нулю:

Для форм степени равной размерности многообразия, уже первый дифференциал равен нулю (это следует из того, что , а внешнее произведение одинаковых дифференциалов равно нулю). Для форм степени дифференциал является формой степени следовательно, Для форм степени мы подсчитаем вклад, который вносит в дифференцирование по Очевидно, достаточно рассмотреть совокупность тех членов в выражении , которые не содержат т. е. форму

где два штриха у суммы означают, что суммирование ведется по всем индексам для которых Мы имеем

(выписаны лишь те слагаемые, которые содержат либо либо для краткости положено в силу равенства смешанных производных выражение в скобках равно нулю, а так как члены, обозначенные многоточием, не содержат произведения то коэффициент в при этом произведении равен 0.

Перестановкой индексов мы можем любые два дифференциала поставить на место поэтому можно утверждать, что

Пример. В случае формы имеем

и теорема 1 сводится к известному из векторного анализа тождеству

где вектор.

Наше определение дифференциала формы сформулировано в терминах локальных координат. Однако на самом деле дифференциал инвариантен относительно координат. Точнее, справедлива

Теорема 2. Дифференциал гладкой формы на гладком многообразии меняется по закону изменения дифференциальных форм.

Нам нужно показать, что при гладкой (не обязательно гомеоморфной) замене координат дифференциал переходит в то самое выражение, которое получается при вычислении дифференциала формы со в координатах

По свойству (I) можно ограничиться формами вида

где Будем рассматривать как произведение формы нулевой степени (функции) на форму По свойству (II) в новых координатах

следовательно, все будет доказано, если мы докажем, что

Справедливость этого равенства легко доказывается индукцией по При форма и при замене по теореме об инвариантности дифференциала она переходит в дифференциал функции по теореме 1 имеем, следовательно, Пусть (8) верно для всех форм степени не выше Тогда можно рассматривать как произведение и по свойству (II) и индуктивному предположению получаем, что

В качестве примера применения дифференцирования форм приведем доказательство теоремы существования неявных функций.

Теорема 3. Пусть функции голоморфны в точке и определитель отличен от нуля в точке Тогда система уравнений

разрешима в некоторой окрестности точки а относительно переменных т. е.

причем функции голоморфны в точке

Мы приведем эту теорему к соответствующей теореме из действительного анализа. Для этого положим и будем рассматривать (9) как систему уравнений относительно неизвестных

Для вычисления якобиана отвлечемся от системы (9), фиксируем переменные и будем рассматривать как функции остальных переменных Учитывая, что эти функции голоморфны, по правилам внешнего умножения дифференциалов получаем

откуда, переходя к комплексно сопряженным величинам, находим

По тем же правилам

и аналогично Поэтому после перемножения последних соотношений мы получим

(мы произвели одинаковые перестановки в обеих частях этих соотношений). Остается заметить, что произведения дифференциалов в левой и правой частях последнего равенства представляют собой соответствующие -мерные элементарные объемы

(взятые с каким-либо одинаковым для обеих частей знаком) и, следовательно, их отношение равно Искомому якобиану:

По условию якобиан в правой части (11) отличен от нуля в точке поэтому в силу теоремы о неявных функциях из действительного анализа система (9) разрешима в окрестности точки а относительно переменных (условия непрерывности, требуемые в этой теореме, у нас заведомо выполняются). По той же теореме функции дифференцируемы в смысле действительного анализа (по переменным . Но, дифференцируя систему (9), находим

(мы воспользовались теоремой об инвариантности дифференциала), откуда в силу условия не равенства нулю определителя (11) видно, что в окрестности точки дифференциалы линейно выражаются через дифференциалы Поэтому функции (10) голоморфны в точке

Замечание. Соотношение (11) обобщает на пространственный случай соотношение между якобианом и производной голоморфной функции одного переменного:

В заключение этого пункта приведем несколько замечаний и определений общего характера. Оператор дифференцирования преобразует группу всех дифференциальных форм степени на многообразии (рассматриваются формы и многообразия из класса ) в группу форм степени

Это отображение является гомоморфизмом, ибо однако не на всю группу ибо не каждая форма степени является дифференциалом какой-либо формы степени

Определение 2. Дифференциальная форма называется замкнутой, если ее дифференциал Форма называется точной, если она является дифференциалом какой-либо формы:

Замкнутые формы степени на многообразии образуют группу (по сложению) которая является подгруппой Мы имеем

т. е. служит ядром гомоморфизма Точные формы образуют группу

которая является образом гомоморфизма

По теореме 1 всякая точная форма замкнута (ибо если то следовательно, является подгруппой группы По той же причине последовательность гомоморфизмов

является полуточной точность этой последовательности означает, очевидно, что каждая замкнутая форма степени на является точной.

Факторгруппа

состоит из классов эквивалентных форм: к одному классу относятся формы, разность которых принадлежит т. е. является точной формой. Точность последовательности (15) сводится к тривиальности группы

Очевидна аналогия оператора дифференцирования форм с оператором взятия границы цепей, рассмотренным в предыдущем пункте; различие между этими операторами состоит лишь в том, что первый из них повышает размерность (степень) форм, а второй понижает размерность цепей. Это подчеркивает следующая часто применяемая терминология. Формы, дифференциалы которых равны нулю, называются коциклами, а формы, которые являются дифференциалами других форм, — когомологичными нулю, факторгруппа называется -мерной группой когомологий.