§ 11. Методы теории пучков

В этом параграфе мы хотим познакомить читателя с новыми мощными методами, которые возникли при сочетании идей комплексного анализа с идеями алгебры и топологии. Главная заслуга в создании этих методов принадлежит французской математической школе, в первую очередь А. Картану и Ж. П. Серру. Нашей целью являются не сами методы, а их применения. Поэтому мы подробно прослеживаем связи этих методов с понятиями комплексного анализа, из которых они возникли, и примеры применений, но опускаем доказательства некоторых утверждений.

34. Основные определения.

Еще в п. 28 ч. I мы ввели понятие ростка аналитической функции, к которому пришли, желая локализовать понятие аналитичности. Напомним это понятие для общего случая функций, голоморфных на аналитическом многообразии произвольной размерности.

Определение 1. Две функции голоморфные в точке аналитического многообразия называются эквивалентными, если существует окрестность (в топологии этой точки, в которой Любой класс эквивалентности по этому отношению называется ростком аналитической функции в точке

Росток, содержащий данную функцию голоморфную в точке мы будем обозначать символом Совокупность всех ростков аналитических функций в точке будем обозначать через Очевидно, можно рассматривать как кольцо, если под суммой и произведением его элементов понимать росток, принадлежащий соответственно сумме и произведению представителей этих элементов (функций, голоморфных в точке . Это — коммутативное кольцо с единицей, без делителей нуля.

Чтобы прийти к основному в этом параграфе понятию пучка, напомним определение области наложения над аналитическим многообразием обобщающее определение римановой поверхности в ч. I. Прежде всего на множестве ростков

вводится топология, в которой окрестностями служат совокупности ростков, принадлежащие одной голоморфной функции,

Это делается так. Рассмотрим произвольный росток и любую функцию его представляющую (т. е. входящую в класс эквивалентности Пусть произвольная окрестность точки в которой голоморфна; совокупность ростков принадлежащих этой функции, и называется окрестностью

В определении области наложения участвует еще проекция, т. е. отображение

которое каждому ростку ставит в соответствие точку Обратное отображение неоднозначно: оно преобразует точку в совокупность всех ростков функций, голоморфных в этой точке. Однако топология на 6 построена так, что локально, в окрестности каждого ростка отображение (2) взаимно однозначно, ибо по теореме единственности для любой существует лишь один росток соответствующий этой точке. Очевидно, сужение является гомеоморфизмом.

Отметим, наконец, что во введенной на топологии алгебраические действия с ростками (которые определены лишь для ростков над одной точкой) оказываются непрерывными. Под этим понимается следующее: пусть ростки из такие, что тогда для любой окрестности найдутся такие окрестности что для всех росток (мы определили непрерывность суммы, непрерывность произведения определяется аналогично). Для построения окрестностей достаточно выбрать столь малую окрестность V точки чтобы в ней были голоморфными функции представляющие соответственно ростки Тогда в V будет голоморфной и функция по принятому выше определению окрестностей, для любых сумма будет принадлежать функции которая, по определению суммы классов эквивалентности, всюду в V равна Но это и означает, что

Понятие пучка возникает при алгебраико-топологической обработке понятия поверхности наложения. При этой обработке сохраняются все топологические элементы только что описанной конструкции, а от голоморфных функций остается лишь их алгебраическая структура — то, что они образуют кольцо.

Определение 2. Пучком некоторых алгебраических структур (нас будут интересовать лишь кольца или группы) над топологическим пространством X (базой пучка) называется

пара составленная из топологического пространства и отображения {проекции), если выполняются следующие условия:

1) проекция а является локальным гомеоморфизмом всюду на

2) для каждой точки в прообразе называемом стеблем пучка над введена алгебраическая структура;

3) алгебраические операции в стеблях непрерывны в топологии

Таким образом, описанное выше топологическое пространство 0 ростков голоморфных функций с проекцией является пучком колец над комплексно аналитическим многообразием Этот пример будет для нас основным, ниже мы введем и другие примеры пучков колец и групп.

Понятие пучка отражает полную локализацию изучаемых объектов. Однако практическая ценность этого понятия определяется главным образом тем, что оно позволяет переходить и к не полностью локализованным, а иногда и к глобальным объектам. Такой переход обобщает переход от ростков из пучка к функциям голоморфным в окрестности точки а затем — если это возможно — к функциям, голоморфным на всем многообразии Поэтому теория пучков дает весьма мощные методы решения ряда задач, в которых от локальных свойств нужно переходить к глобальным.

Описанный сейчас переход осуществляется при помощи важного понятия сечения.

Определение 3. Сечением пучка над открытым множеством называется непрерывное отображение такое, что композиция является в тождественным отображением.

Таким образом, сечения — это обращения сужений проекции а на множества . Условие 1) в определении пучка показывает, что в достаточно мелких окрестностях каждой точки сечения существуют. Совокупность всех сечений пучка над открытым множеством мы будем обозначать символом

Заметим, что в силу локальной гомеоморфности проекции сечения над связной окрестностью обладают таким свойством: если два сечения из совпадают в

какой-либо точке то всюду в U (доказательство повторяет доказательство леммы из Это свойство вместе с условием 3) из определения пучка позволяет распространить на алгебраические действия, введенные в стеблях

Рассматриваемые в анализе пучки естественным образом возникают в результате предельного перехода из не вполне локализованных образований, которые называются предпучками.

Определение 4. Говорят, что над топологическим пространством X задан предпучок некоторых алгебраических структур, если

1) задана база открытых множеств топологии X, т. е. такой их набор, что любое открытое множество является объединением этих множеств;

2) с каждым множеством базы ассоциирована алгебраическая структура

3) с каждой парой такой, что ассоциирован гомоморфизм

причем выполняется следующее условие транзитивности: если то

(здесь о обозначает композицию гомоморфизмов).

Важнейшим примером лредпучка колец является набор функций, голоморфных в открытых множествах составляющих базу аналитического многообразия т. е. набор сечений Гомоморфизмами здесь служат естественные отображения вложения кольца в которые каждой функции относят ее сужение на множество (условие транзитивности при этом, очевидно, выполняется). Описанное выше построение пучка , по существу, можно рассматривать как процесс локализации, приводящий к от этого предпучка.

Аналогичный процесс локализации, приводящий от предпучков к пучкам, можно провести и в общем случае. Это делается при помощи так называемого топологического предела. Пусть дан некоторый предпучок топологическим

пространством Для каждой точки мы рассмотрим базу окрестностей этой точки; семейство частично упорядочено отношением вложения. Назовем два элемента и принадлежащие соответственно эквивалентными в точке если существует окрестность такая, что и

Множество классов эквивалентности по этому отношению называется топологическим пределом и обозначается символом

В множестве естественным образом вводится структура, заданная в

Покажем теперь, что можно рассматривать как пучок над пространством Проекция определяется просто как отображение Далее, для каждой окрестности можно построить отображение которое сопоставляет каждому элементу класс эквивалентности содержащий этот элемент (отображение можно рассматривать как гомоморфизм соответствующих алгебраических структур). При помощи построенных отображений мы для каждого элемента и окрестности определим множество

Набор для всех и всех из базы открытых множеств X можно принять в качестве такой же базы для топологии в 3. Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что если то для каждого элемента в найдется По построению где соответственно принадлежат и . По определению топологического предела существует открытое множество содержащее точку и такое, что полагая мы получаем элемент и тогда искомой окрестностью будет Наконец, очевидно, что в построенной топологии проекция а локально гомеоморфна, а алгебраические операции непрерывны.

Замечание. Мы обозначаем одним символом кольцо некоторого предпучка, ассоциированное с открытым множеством и совокупность сечений над пучка который получается в пределе из этого предпучка. Дело в том, что при достаточно общих предположениях эти кольца изоморфны и нет опасности их смешать.

Примеры. Символом мы всюду будем обозначать базу открытых множеств пространства, над которым рассматриваются пучки и предпучки.

1. Пучок 6 ростков голоморфных функций над комплексно аналитическим многообразием и соответствующий ему предпучок функций, голоморфных на множествах мы уже рассматривали. Множество является также множеством сечений пучка в над

2. Предпучок функций, мероморфных на множествах был определен в начале этой главы. Его можно рассматривать как предпучок полей, причем гомоморфизмами как и в предыдущем примере, являются сужения (они определены, если . Пучок который получается локализацией этого предпучка, называется пучком ростков мероморфных функций. Последний можно определить и независимо от предпучка, если ввести для каждой точки стебель как поле отношений в кольце Под этим понимается следующее: упорядоченные пары и ростков из (др (где считаются эквивалентными, если классы эквивалентности (они называются отношениями) обозначаются символом и объявляются ростками мероморфных функций. Так как коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, то ростки (отношения) образуют коммутативное поле Объединение

можно рассматривать как пучок полей.

3. Пучок ростков дифференциальных форм бистепени над комплексным многообразием действительной размерности можно определить следующим образом. Фиксируем точку и рассмотрим совокупность дифференциальных форм, каждая из которых в некоторой окрестности представляется в локальных координатах

действующих в в виде

где , а коэффициенты функции из кососимметрические по индексам. Две такие формы, (9) и будем считать эквивалентными, если существует окрестность точки в которой для всех Классы эквивалентности по этому отношению назовем ростками форм бистепени в точке Совокупность таких ростков обозначим через и будем рассматривать как абелеву группу относительно покоэффициентного сложения. Объединение

мы будем рассматривать как пучок групп. Топология и проекция в нем вводятся точно так же, как в пучке

В частности, представляет собой пучок ростков функций из

Можно рассматривать также предпучок, соответствующий пучку который состоит из совокупностей форм бистепени принадлежащих Гомоморфизмами здесь по-прежнему служат сужения.

4. Постоянные пучки Пусть каждой точке соответствует один и тот же объект, скажем кольцо целых чисел Тогда мы будем говорить, что над задан постоянный пучок, и будем обозначать его тем же символом, что и этот объект (в нашем случае — символом Сечением такого пучка над связной окрестностью служит набор функций, каждая из которых постоянна в (в нашем случае — целочисленная постоянная).