§ 14. Гармонические и субгармонические функции

Мы закончим первую часть описанием двух классов действительных функций, тесно связанных с голоморфными функциями,

44. Гармонические функции.

Определение. Действительная функция и класса называется гармонической в области если всюду в удовлетворяется уравнение Лапласа

Дифференциальный оператор в левой части (1) называется оператором Лапласа и обозначается символом нетрудно видеть, что

Связь гармонических и голоморфных функций выражается следующими двумя теоремами.

Теорема 1. Действительная и мнимая части любой функции голоморфной в области являются гармоническими в этой области.

Имеем

откуда видно, что Далее, у нас в силу голоморфности а функция антиголоморфна) и аналогично

Теорема 2. Для любой функции и, гармонической в области локально, в окрестности каждой точки можно построить голоморфную в этой окрестности функцию для которой и является действительной (или мнимой) частью Пусть в силу (1) форма является точной в (см. п. 15), поэтому интеграл от в не зависит от пути и в определена функция

Обычным для действительного анализа способом доказывается, что дифференцируема в (в смысле ) и что ее частные производные соответственно равны

Но это — условия комплексной дифференцируемости функции Функция имеет и своей мнимой частью

Замечание. Если область односвязна, то это же рассуждение доказывает существование функции для которой глобально, во всей области Для многосвязных областей теорема неверна.

Пример: в области функция гармонична, но условиям (4) вместе с и удовлетворяет только функция определенная в лишь локально, во всей эта функция не определена (она многозначна!)

Установленная связь позволяет распространить на гармонические функции некоторые свойства голоморфных функций.

1. Бесконечная дифференцируемость. Любая гармоническая в области функция и обладает в каждой точке частными производными всех порядков, которые также являются гармоническими в

По теореме 2 строим голоморфную в окрестности точки функцию для которой и замечаем,

. По теореме 1 эти частные производные гармоничны в Применяя к ним уже доказанное, получим существование и гармоничность вторых частных производных и т. д.

2. Теорема о среднем. Если функция и гармонична в круге то для любого значение и в центре круга равно среднему ее значений на окружности

Доказательство получается отделением действительных частей в формуле

выражающей теорему о среднем для голоморфных функций.

Заметим, что в этой теореме вместо среднего по окружности можно брать среднее по кругу

где элемент площади. Для доказательства достаточно помножить обе части (5) на и проинтегрировать по в пределах от 0 до

3. Теорема единственности. Если две функции гармонические в области совпадают на множестве имеющем хотя бы одну внутреннюю точку, то

Обозначим и рассмотрим множество Открытое ядро по условию непусто; оно замкнуто в ибо если является предельной точкой О то существует последовательность и функция голоморфная в окрестности является мнимой постоянной, т. е. в этой окрестности и Поэтому

Для гармонических функций теорема единственности формулируется в более слабой форме, чем для голоморфных: требуется, чтобы множество имело не предельную, а внутреннюю точку в О. В такой сильной форме теорема и неверна: гармоническая в С функция равна нулю на мнимой оси, не будучи тождественно равной нулю.

4. Принцип экстремума. Если гармоническая в области функция и достигает (локального) максимума или минимума в какой-либо точке то она постоянна в

Рассмотрим голоморфную в окрестности точки функцию для которой если и достигает в 20 максимума, то и модуль голоморфной в функции также поэтому а следовательно и и, постоянна в По теореме единственности и постоянна и в Случай минимума сводится к случаю максимума, если вместо и рассмотреть функцию

5. Теорема Лиувилля. Если функция и гармонична в С и ограничена хотя бы с одной стороны, например: для всех то

Так как С односвязна, то существует целая функция такая, что в С. По условию все значения лежат в полуплоскости пусть — дробно-линейное отображение этой полуплоскости на единичный круг, тогда является целой ограниченной функцией, т. е. константой. Отсюда следует, что а следовательно, и

6. Инвариантность относительно конформных отображений. Если функция и гармонична в области — конформное отображение на то сложная функция гармонична в

Рассмотрим произвольную точку и ее образ в окрестности строим голоморфную функцию такую, что тогда а так как функция голоморфна в окрестности то гармонична в этой окрестности

В следующем пункте мы покажем, что теорема о среднем характеризует гармонические функции, т. е. что справедлива

Теорема 3. Если конечная в области функция и, локально интегрируемая по площади, в каждой точке для всех совпадает со своим средним по кругу

то она гармонична в

Сейчас мы воспользуемся этой теоремой для доказательства одного утверждения о пределе последовательности гармонических функций, которое понадобится в дальнейшем изложении.

Теорема 4 (Харнак). Предел убывающей последовательности гармонических в области функций является либо гармонической в функцией, либо тождественно равен

Пусть сначала и всюду конечна в по теореме о среднем для гармонических функций в любой точке

для всех где расстояние от до . В силу монотонности последовательности в (8) можно перейти к пределу при и мы получим

причем функция и локально интегрируема по площади. По теореме 3 отсюда следует, что функция и гармонична в D.

Пусть теперь в какой-либо точке Обозначим это множество непусто, ибо содержит Оно открыто: пусть и расстояние от до равно мы имеем

и, следовательно, для любого

ибо круг содержит круг таким образом, Точно так же доказывается и замкнутость (в топологии D). Поэтому т. е.

В заключение этого пункта укажем, что понятие гармоничности распространяется на функции любого числа действительных переменных. Пусть область в -мерном евклидовом пространстве Функция и: класса называется

гармонической в если в каждой точке удовлетворяется уравнение Лапласа

Для таких функций остаются справедливыми свойства 1—5 гармонических функций двух переменных. Эти свойства нуждаются в специальных доказательствах (ибо приведенные нами доказательства основаны на свойствах голоморфных функций), но мы на них не будем останавливаться.