40. Принцип симметрии.

Здесь мы рассмотрим один специальный случай аналитического продолжения, относящийся к

конформным отображениям. Предварительно докажем так называемую лемму о непрерывном продолжении.

Лемма. Пусть непересекающиеся области имеют общий прямолинейный участок границы а функции соответственно голоморфны в и непрерывны на множествах (рис. 69). Тогда, если

то функция

голоморфна в области

Из условий леммы видно, что непрерывна в для доказательства ее голоморфности по теореме Мореры достаточно проверить, что интеграл от нее по границе любого треугольника равен нулю. Если компактно принадлежит или то это следует из теоремы Коши. Остается рассмотреть случай, когда

Рис. 69.

Пусть у делит на две части по свойствам интегралов

и достаточно показать, что каждый из интегралов справа равен нулю. Рассмотрим любую из частей и для простоты обозначим ее снова через Обозначим через трапецию, которая отсекается от прямой, параллельной у и отстоящей от у на расстоянии пусть (рис. 69).

По теореме Коши интеграл от по равен нулю, следовательно,

Пусть основания трапеции (предположим, что они ориентированы одинаково); так как длины боковых ее сторон стремятся к нулю при а функция ограничена в то

Обозначим через линейное преобразование у на делая в интеграле по замену переменных получим

Так как при функция равномерно на у стремится к равномерно непрерывна в А, то подинтегральная функция в (5) равномерно стремится к нулю, а значит, интеграл от по стремится к нулю при Но из (4) видно, что он не зависит от А, следовательно, он, а значит и интеграл по равен нулю.

Если А пересекается с у лишь стороной или вершиной, то доказательство очевидным образом упрощается

Замечание. Если воспользоваться усиленной формой теоремы Коши, в которой предполагается, что функция голоморфна в области и лишь непрерывна в ее замыкании, то доказательство леммы существенно упрощается: по этой теореме каждый интеграл в правой части (3) равен нулю.

Функцию определенную формулой (2) в области можно рассматривать как аналитическое продолжение каждой из функций Лемму о непрерывном продолжении поэтому можно читать так: если две области имеют общий прямолинейный участок границы у и функции голоморфные в непрерывно смыкаются на у, то они и аналитически продолжают друг друга. Для дифференцируемых функций действительного переменного аналогичное утверждение, конечйо, несправедливо (пример: отрезки

Перейдем к доказательству принципа симметрии.

Теорема 1 (Риман — Шварц). Пусть области имеют жордановы границы причем содержит отрезок прямой или дугу окружности такой же отрезок или дугу у. Если функция конформно отображает на причем то допускает аналитическое продолжение в область симметричную с относительно у, и продолженная так функция конформно отображает область на если (рис. 70).

а) Рассмотрим сначала частный случай, когда у и у представляют собой отрезки действительных осей. Определим

в области симметричной с относительно отрезка у, функцию

Так как при точка а функция голоморфна в то функция антиголоморфна в (см. и, следовательно, голоморфна в По принципу соответствия границ непрерывна в причем по условию теоремы на у принимает действительные значения (принадлежащие отрезку у. Поэтому, когда точка стремится к точке то Таким образом, для всех у и функции удовлетворяют условиям леммы о непрерывном продолжении. По этой лемме функция

голоморфна в области По построению конформно отображает эту область на Для частного случая у, теорема доказана.

Рис. 70.

б) Общий случай приводится к этому частному дробно-линейными отображениями. В самом деле, пусть дробнолинейные отображения, переводящие соответственно у и у в отрезки действительных осей (они существуют по доказанному в . Функция по доказанному в а) продолжается аналитически в область симметричную с относительно отрезка причем продолженная функция отображает на область (мы пользуемся тем, что дробно-линейные отображения сохраняют симметричные точки, см. п. 9). Но тогда функция является аналитическим продолжением функции в область и отображает на

Замечание. Отрезок у в доказанной теореме может содержать бесконечную точку; тогда продолжение будет мероморфным: функция окажется голоморфной в всюду, кроме точки соответствующей бесконечной точке, где она имеет полюс. Этот полюс непременно первого порядка, ибо однолистна в области (в окрестности кратного полюса функция многолистна, см. п. 24).

В качестве примера применения принципа симметрии приведем доказательство теоремы о продолжении, из которой

следует сформулированное в предыдущем пункте утверждение IV.

Теорема 2 (Шварц). Если граница области содержит аналитическую дугу у, то конформное отображение этой области на единичный круг можно аналитически продолжить через у.

Пусть у задается при помощи функции аналитической на отрезке и такой, (см. определение в сноске на стр. 208). Для любой найдется окрестность в которую продолжается, как голоморфная функция комплексного переменного, причем в силу условия можно считать, что однолистна в Функция отображает диаметр состоящий из точек действительной оси на дугу а у, мы обозначим через тот из полукругов который отображает в Функция удовлетворяет условиям принципа симметрии (она преобразует в дугу единичной окружности) и, следовательно, аналитически продолжается в Отсюда вытекает, что аналитически продолжается через дугу

Принцип симметрии полезен для фактического построения конформного отображения областей, обладающих свойствами симметрии.

Пример. Область представляет собой внешность объединения отрезков обозначим через ее верхнюю половину (рис. 71). В однолистна функция эта функция неоднолистна), которая отображает на плоскость с выброшенным лучом — Поэтому функция где выбрана нужная ветвь корня, отображает на верхнюю полуплоскость Отрезок у, соединяющий через точки , переходит при этом в отрезок соединяющий через точки

Рис. 71.

Следовательно, к последней функции применим принцип симметрии, по которому она продолжается аналитически в область симметричную с относительно у, и продолженная функция (мы обозначаем ее тем же символом отображает на внешность отрезка Внешность отрезка уже совсем просто отображается на каноническую область (например, линейной функцией мы отображаем на внешность отрезка а затем применяем одну из ветвей функции, обратной к фунции Жуковского из -получим отображение на внутренность или внешность единичного круга).