6. Дифференцируемость.

Пусть функция определена и конечна в некоторой окрестности точки

Определение 1. Будем говорить, что дифференцируема в точке в смысле действительного анализа (короче, в смысле если функции и и и дифференцируемы как функции в точке дифференциалом в точке называется выражение

Если записать через частные производные (последние существуют в точке то (1) можно переписать в виде

где и - производные от комплексной функции по действительным переменным. Нам удобно

переписать формулу для дифференциала еще в одном виде. Рассмотрим переменные их дифференциалами будут Отсюда мы находим

и, подставляя это в (2), после перегруппировки членов получаем

где введены обозначения

Замечание. Представление дифференциала в виде (3) единственно: если то . В самом деле, подставляя мы получим, что Отсюда, как и в действительном анализе, найдем решая эту систему, получим требуемое:

Мы вводим основное для всей книги

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке в смысле комплексного анализа (короче, в смысле С), если она дифференцируема в в смысле и ее дифференциал пропорционален т. е. в точке

Читателю, незнакомому с комплексным анализом, трудно оценить сразу важность этого определения — она выяснится постепенно, по мере ознакомления с предметом. Сейчас мы укажем только, что в отличие от всех предыдущих понятий, которые представляют собой простой перенос соответствующих понятий действительного анализа, дифференцируемость в смысле С не сводится к дифференцируемости в смысле Именно, дифференцируемость в смысле С требует не только дифференцируемости в смысле но и выполнения условия (5), которое мы будем называть условием (комплексной) дифференцируемости.

Формулы (4) позволяют переписать это условие в виде двух скалярных равенств:

В таком виде условие впервые появилось в работах Ж. Даламбера и Л. Эйлера и позднее (в более четкой форме) — у О. Коши и Б. Римана.

Большая ограничительность условия комплексной дифференцируемости очевидна: в то время как примеры функций непрерывных, но нигде не дифференцируемых в смысле действительного анализа, строятся с некоторым трудом (примеры Вейерштрасса или Пеано), нигде не дифференцируемыми в смысле комплексного анализа оказываются самые «простые» функции. Например, функция

в смысле С нигде не дифференцируема! В самом деле, для нее первое из условии нигде не выполняется.

Перейдем теперь к рассмотрению производной функции комплексного переменного. Если дифференцируема в точке в смысле то ее приращение в этой точке можно представить в виде

где обозначает малую высшего порядка относительно (т. е. величину, отношение которой к стремится к при Полагая получаем и из (8) находим

где стремится к нулю при

Отсюда видно, что для существования предела отношения при нужно потребовать, чтобы при стремлении к нулю величина стремилась к некоторому пределу (рис. 8). Предел при таком стремлении к 0 называется производной по направлению О функции в точке

Из формулы (9) видно, что эта производная по направлению

Таким образом, если в точке величина то производные по направлению в этой точке зависят от направления. Именно, геометрическим местом (годографом) производных по направлению в данной точке является окружность с центром и радиусом (см. рис. 8).

Если же дифференцируема в точке в смысле С, т. е. то эта окружность вырождается в точку и производные по всем направлениям совпадают (они равны

Рис. 8.

Определение 3. Производной функции в точке называется

если этот предел существует.

Из сказанного выше можно вывести, что дифференцируемость в смысле С равносильна существованию производной. Мы, однако, предпочитаем прямое доказательство.

Теорема. Для того чтобы функция определенная в окрестности точки имела в этой точке производную, необходима и достаточна дифференцируемость в точке в смысле комплексного анализа.

Пусть дифференцируема в точке в смысле тогда она дифференцируема в смысле в этой точке. Из формулы (9) имеем

где при отсюда видно, что существует

Пусть имеет в точке производную тогда для достаточно малых имеем

где при Таким образом, откуда видно, что дифференцируема в точке в смысле и

что , а это и означает дифференцируемость в смысле С в точке

Так как производная если она существует, не зависит от направления, то ее можно вычислять, например, в направлении оси х; мы получим

Определение производной функции комплексного переменного совпадает с таким же определением из действительного анализа, арифметические действия и теоремы о пределах в комплексном анализе такие же, как и в действительном. Поэтому в комплексный анализ без всяких изменений переносятся элементарные правила дифференцирования (дифференцирование суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции); мы не останавливаемся на их формулировках и доказательствах.

В заключение мы должны уточнить сказанное выше о понятии комплексной дифференцируемости. Строго говоря, дифференцируемость в смысле С в одной точке еще не влечет за собой тех последствий, которые мы имели в виду, говоря о важности этого понятия, — для этого нужно требовать дифференцируемости в окрестности точки Поэтому мы принимаем следующее

Определение 4. Функция называется голоморфной (или аналитической) в точке если она дифференцируема в смысле С в некоторой окрестности этой точки.

Пример. Функция

очевидно, дифференцируема в смысле во всей плоскости С. Однако равна 0 лишь при поэтому в смысле С она дифференцируема лишь в точке Таким образом, функция (13) дифференцируема в смысле С в точке но не голоморфна в этой точке.

Мы будем называть функцию голоморфной на открытом множестве если она голоморфна в каждой точке этого множества (для таких множеств, следовательно, понятия голоморфности и комплексной дифференцируемости совпадают).

Будем говорить, что функция голоморфна на произвольном множестве если ее можно продолжить на некоторое открытое множество до голоморфной на функции. В частности, голоморфность в замкнутой области означает возможность ее продолжения до функции, голоморфной в более широкой области

Наконец, под голоморфностью функции в бесконечной точке понимается голоморфность функции Это определение позволяет рассматривать функции, голоморфные на множествах замкнутой плоскости С.

Очевидно, сумма и произведение функций, голоморфных в области также голоморфны в этой области. Поэтому совокупность всех функций, голоморфных в области образует кольцо, которое мы будем обозначать символом