14. Формула Стокса.

Аналогия, о которой мы сейчас говорили, является не только внешней. Глубокую связь между операторами выражает весьма важная

Теорема. Пусть на ориентируемом -мерном многообразии задана -мерная цепь , а на ней дифференциальная форма со степени если принадлежат классу то

Из принятых нами определений цепи и интеграла следует, что доказательство теоремы достаточно провести для случая -мерного симплекса Введем в координаты в которых каждая точка представляется в виде суммы векторов:

положили этих координатах форма записывается как сумма членов; мы возьмем один такой член, например

Пусть будет грань симплекса противоположная вершине уравнением этой грани служит

Рис. 92.

Эти грани ориентируем в соответствии с ориентацией в частности, грань получит ориентацию а грань ориентацию — (см. рис. 92, где Вычислим интеграл от формы (3) по ориентированной границе симплекса:

(мы учли, что на остальных гранях форма ибо там ). В обеих гранях можно пользоваться координатами На грани порядок этих координат соответствует ориентации, а является (линейной) функцией остальных координат, определяемой из уравнения грани По определению интеграла от формы получаем, следовательно,

где неориентированный симплекс (проекция в пространство переменных см. рис. 92), элемент объема. Вводя характеристическую функцию

симплекса функцию, равную 1 в и 0 вне мы можем переписать правую часть (5) в виде интеграла по всему пространству

На грани порядок координат противоположен ориентации, поэтому мы имеем

и из (4) получаем

где интеграл берется по всему пространству.

С другой стороны, вычисляя интеграл по симплексу мы получаем

Этот интеграл совпадает с

Примеры.

1. - любое; одномерная цепь а представляет собой линию, ее граница состоит из двух точек, причем начало ориентировано отрицательно, а конец -положительно. Форма (о нулевой степени — это функция Формула Стокса сводится к формуле Ньютона — Лейбница:

2. ; цепь пусть представляет собой плоскую область Форма первого порядка имеет вид а ее дифференциал

Формула Стокса сводится к формуле Римана -

3. ; цепь а пусть представляет поверхность Формула (1) сводится к классической формуле Стокса:

4. ; цепь — область формула Стокса сводится к формуле Остроградского:

Приведем два важных следствия из формулы Стокса:

1) Интеграл от замкнутой формы по циклу, гомологичному нулю равен нулю:

2) Интеграл от точной формы по циклу равен нулю: