17. Обобщения теоремы Коши.

Тот же пример показывает, что в многосвязной области интеграл от голоморфной функции по замкнутому пути не обязательно равен нулю, т. е. теорема Коши в том виде, как она сформулирована в теореме 3 предыдущего пункта, на многосвязные области не распространяется.

В формулировке теоремы 2 порядок связности несуществен. Очевидно, что замкнутая кривая гомотопна нулю в области если она является границей некоторой области (ее можно деформировать в точку, стягивая в точку область Поэтому теорему Коши можно формулировать еще и так: если функция голоморфна в а область и ограничена непрерывной кривой то интеграл от по равен нулю.

Для применений полезно иметь обобщение этой теоремы на случай, когда область не обязательно односвязна. Чтобы сформулировать это обобщение, введем:

Определение. Пусть граница компактной области состоит из конечного числа замкнутых кривых считать, что внешняя граница т. е. кривая, отделяющая точки от бесконечной точки, ориентирована против часовой стрелки, а остальные граничные кривые

по часовой (иными словами, граничные кривые ориентированы так, что область во время обхода границы всегда остается слева (рис. 31). Границу области с такой ориентацией мы будем называть ориентированной границей и обозначать символом

Рис. 31.

Рис. 32.

Теперь мы можем сформулировать обобщение теоремы Коши, о котором говорили выше:

Теорема 1. Пусть функция любая компактно принадлежащая область, ограниченная конечным числом кривых. Тогда интеграл от по ориентированной границе области равен нулю:

Проведем в конечное число разрезов А, связывающих компоненты границы этой области (на рис. 32 мы для наглядности изобразим эти разрезы, состоящими из двух берегов). Очевидно, что замкнутая кривая состоящая из ориентированной границы и совокупностей гомотопна нулю в области . В силу свойств интегралов

а так как то по теореме 2 предыдущего пункта мы получаем (1)

В некоторых вопросах полезно иметь более общий результат о равенстве нулю интеграла по границе самой области а не только областей, компактно ей принадлежащих. Ясно, что без дополнительных условий такой результат получить нельзя, ибо функция может не быть определенной на Мы

приведем естественные дополнительные условия, в которых такое обобщение теоремы Коши имеет место.

Теорема 2. Пусть функция голоморфна в компактной области D, ограниченной конечным числом спрямляемых кривых, и непрерывна в Тогда интеграл от по ориентированной границе этой области равен нулю:

Без ограничения общности можно считать, что односвязная область (т. е. состоит из одной кривой), ибо приемом, примененным при доказательстве теоремы 1, общий случай сводится к этому. Дальнейшее доказательство разобьем на три этапа.

1°, Пусть у — спрямляемая кривая и диаметр; пусть плоскость С покрыта сеткой прямых, параллельных координатным осям, причем сторона квадратов сетки

Рис. 33.

Докажем, что сумма диаметров квадратов сетки, пересекамщихся с у, не превосходит , где длина кривой у.

В самом деле, пусть (конечная) совокупность квадратов сетки, пересекающихся квадрат со стороной с тем же центром, что и так же расположенный (рис. 33). В силу условия (3) у должна выходить на границу следовательно, длина части у, лежащей в

Кроме того, мы имеем

ибо , а в сумме мы считаем каждую из длин не более 9 раз. Из неравенств (4) и (5) получаем, что

2°. Пусть функция определена на множестве — положительное число. Модулем непрерывности на называется величина

Известно, что если компактное замкнутое множество, то для непрерывности на нем необходимо и достаточно, чтобы при

Докажем, что если, непрерывна на замкнутой спрямляемой кривой у, то

где — диаметр кривой у.

В самом деле, в силу того, что интеграл от по у равен нулю, для любой точки имеем

Так как для всех то отсюда простой оценкой получаем (7).

3°. Теперь будем доказывать утверждение теоремы. Покроем С сеткой, как в и представим интеграл (2) в виде

где первая сумма распространена на квадраты пересекающиеся с а вторая — на квадраты, целиком состоящие из внутренних точек (она равна нулю по теореме Коши).

Рис. 34.

Для каждого пересечение состоит из конечного или счетного множества компонент (на рис. 34 состоит из одной компоненты, а — из трех). К границе каждой компоненты мы применим неравенство (7), в котором первый множитель заменим величиной модулем непрерывности на для (мы учитываем, что диаметр границы каждой компоненты не превосходит и что - неубывающая функция от ). Затем мы сложим все такие неравенства (при фиксированном и учтем, что объединение границ всех компонент состоит из и некоторого множества точек на длина которого не превосходит Таким образом мы получим

Подставляя это в (8), будем иметь

Теперь воспользуемся неравенством (6), из которого следует, что получим

Остается заметить, что в силу равномерной непрерывности на величина стремится к 0 при а так как в можно взять сколь угодно малым и оцениваемый интеграл не зависит от то он равен нулю