17. Обобщения теоремы Коши.
Тот же пример показывает, что в многосвязной области интеграл от голоморфной функции по замкнутому пути не обязательно равен нулю, т. е. теорема Коши в том виде, как она сформулирована в теореме 3 предыдущего пункта, на многосвязные области не распространяется.
В формулировке теоремы 2 порядок связности несуществен. Очевидно, что замкнутая кривая гомотопна нулю в области
если она является границей некоторой области
(ее можно деформировать в точку, стягивая в точку область
Поэтому теорему Коши можно формулировать еще и так: если функция
голоморфна в
а область
и ограничена непрерывной кривой
то интеграл от
по
равен нулю.
Для применений полезно иметь обобщение этой теоремы на случай, когда область
не обязательно односвязна. Чтобы сформулировать это обобщение, введем:
Определение. Пусть граница компактной области
состоит из конечного числа замкнутых кривых
считать, что внешняя граница
т. е. кривая, отделяющая точки
от бесконечной точки, ориентирована против часовой стрелки, а остальные граничные кривые
по часовой (иными словами, граничные кривые ориентированы так, что область во время обхода границы всегда остается слева (рис. 31). Границу области
с такой ориентацией мы
будем называть ориентированной границей и обозначать символом
Рис. 31.
Рис. 32.
Теперь мы можем сформулировать обобщение теоремы Коши, о котором говорили выше:
Теорема 1. Пусть функция
любая компактно принадлежащая
область, ограниченная конечным числом кривых. Тогда интеграл от
по ориентированной границе области
равен нулю:
Проведем в
конечное число разрезов А, связывающих компоненты границы этой области (на рис. 32 мы для наглядности изобразим эти разрезы, состоящими из двух берегов). Очевидно, что замкнутая кривая
состоящая из ориентированной границы
и совокупностей
гомотопна нулю в области
. В силу свойств интегралов
а так как
то по теореме 2 предыдущего пункта мы получаем (1)
В некоторых вопросах полезно иметь более общий результат о равенстве нулю интеграла по границе самой области
а не только областей, компактно ей принадлежащих. Ясно, что без дополнительных условий такой результат получить нельзя, ибо функция может не быть определенной на
Мы
приведем естественные дополнительные условия, в которых такое обобщение теоремы Коши имеет место.
Теорема 2. Пусть функция
голоморфна в компактной области D, ограниченной конечным числом спрямляемых кривых, и непрерывна в
Тогда интеграл от
по ориентированной границе этой области равен нулю:
Без ограничения общности можно считать, что
односвязная область (т. е.
состоит из одной кривой), ибо приемом, примененным при доказательстве теоремы 1, общий случай сводится к этому. Дальнейшее доказательство разобьем на три этапа.
1°, Пусть у — спрямляемая кривая и
диаметр; пусть плоскость С покрыта сеткой прямых, параллельных координатным осям, причем сторона квадратов сетки
Рис. 33.
Докажем, что сумма диаметров квадратов сетки, пересекамщихся с у, не превосходит
, где
длина кривой у.
В самом деле, пусть
(конечная) совокупность квадратов сетки, пересекающихся
квадрат со стороной
с тем же центром, что
и так же расположенный (рис. 33). В силу условия (3) у должна выходить на границу
следовательно, длина части у, лежащей в
Кроме того, мы имеем
ибо
, а в сумме
мы считаем каждую из длин
не более 9 раз. Из неравенств (4) и (5) получаем, что
2°. Пусть функция
определена на множестве
— положительное число. Модулем непрерывности
на
называется величина
Известно, что если
компактное замкнутое множество, то для непрерывности
на нем необходимо и достаточно, чтобы
при
Докажем, что если,
непрерывна на замкнутой спрямляемой кривой у, то
где
— диаметр кривой у.
В самом деле, в силу того, что интеграл от
по у равен нулю, для любой точки
имеем
Так как
для всех
то отсюда простой оценкой получаем (7).
3°. Теперь будем доказывать утверждение теоремы. Покроем С сеткой, как в
и представим интеграл (2) в виде
где первая сумма распространена на квадраты
пересекающиеся с
а вторая — на квадраты, целиком состоящие из внутренних точек
(она равна нулю по теореме Коши).
Рис. 34.
Для каждого
пересечение
состоит из конечного или счетного множества компонент (на рис. 34
состоит из одной компоненты, а
— из трех). К границе каждой компоненты
мы применим неравенство (7), в котором первый множитель заменим величиной
модулем непрерывности
на
для
(мы учитываем, что диаметр границы каждой компоненты не превосходит
и что
- неубывающая функция от
). Затем мы сложим все такие неравенства (при фиксированном
и учтем, что объединение границ всех компонент состоит из
и некоторого множества точек на
длина которого не превосходит
Таким образом мы получим
Подставляя это в (8), будем иметь
Теперь воспользуемся неравенством (6), из которого следует, что
получим