24. Изолированные особые точки.

Здесь мы начинаем изучение точек, в которых нарушается голоморфность функций. Рассмотрим сначала простейший тип таких точек.

Определение 1. Точка называется изолированной особой точкой функции если существует такая проколотая окрестность этой точки (т. е. множество ), если точка а конечна, или множество если в которой функция голоморфна.

В зависимости от поведения при приближении к такой точке различают три типа особых точек.

Определение 2. Изолированная особая точка а функции называется

(I) устранимой точкой, если существует конечный

(II) полюсом, если существует

(III) существенно особой точкой, если не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при

Примеры.

1. Все три типа изолированных особых точек реализуются. Например, функции имеют устранимой особой точкой для второй из них это видно из того, что при справедливо разложение

из которого следует, что существует Функции где целое положительное число, имеют полос в точке Функция имеет своей существенно особой точкой, ибо, например, при стремлении к нулю по действительной оси пределы справа и слева различны (предел справа равен бесконечности, а слева — нулю); при стремлении к нулю по мнимой оси функция вообще не имеет предела.

Могут, конечно, существовать и неизолированные особые точки.

Например, функция имеет полюсы в точках следовательно, является для нее неизолированной особой точкой — предельной точкой полюсов.

2. Более сложный пример особых точек доставляет функция

По формуле Коши — Адамара ряд (1) сходится в круге следовательно, голоморфна в этом круге. При по направлению действительной оси она стремится к бесконечности, следовательно, точка является для нее особой. Но

следовательно, стремится к бесконечности и когда по радиусу круга. Аналогично следовательно, когда по радиусам круга. Вообще

для любого натурального поатому когда стремится по радиусу к любой «двоичной» точке окружности. Так как множество «двоичных» точек всюду плотно на окружности то каждая точка этой окружности является особой для Таким образом, f имеет целую линию, составленную из неизолированных особых точек (особую линию).

Характер изолированной особой точки тесно связан с характером лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки (мы будем коротко называть его разложением в окрестности а). Для конечных точек а эта связь выражается следующими тремя теоремами.

Теорема 1. Изолированная особая точка функции является устранимой в том и только том случае, если лорановское разложение в окрестности а не содержит главной части:

Необходимость. Пусть — устранимая точка; тогда существует конечный следовательно, ограничена (пусть ) в некоторой проколотой окрестности точки а. Возьмем любое и воспользуемся неравенствами Коши

Если то правая часть стремится к нулю при левая же часть от не зависит. Следовательно, при и главная часть ряда Лорана отсутствует.

Достаточность. Пусть в проколотой окрестности точки функция представляется лорановским разложением (2) без главной части. Это разложение является тейлоровским, и, следовательно, существует и конечен

Поэтому является устранимой точкой

Замечание. Теми же рассуждениями доказывается и

Теорема Изолированная особая точка а функции в том и только том случае является устранимой, если ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Продолжив функцию в ее устранимую точку а по непрерывности, т. е. положив мы получим функцию,

голоморфную в точке (т. е. устраним особенность). Этим и оправдывается термин «устранимая точка». В дальнейшем мы будем считать такие точки правильными, а не особыми точками функции.

Теорема 2. Изолированная особая точка функции является полюсом в том и только том случае, если главная часть лорановского разложения в окрестности точки а содержит лишь конечное (и положительное) число отличных от нуля членов:

Необходимость. Пусть — полюс; так как то существует проколотая окрестность точки , в которой голоморфна и отлична от нуля. В этой окрестности голоморфна функция причем существует Следовательно, а является устранимой точкой (нулем) функции и в нашей окрестности справедливо разложение

Но тогда в той же окрестности мы имеем

причем второй множитель является функцией, голоморфной в точке , и, значит, допускает тейлоровское разложение

Подставляя это разложение в (4), найдем

Это — лорановское разложение в проколотой окрестности точки а, и мы видим, что его главная часть содержит конечное число членов.

Достаточность. Пусть в проколотой окрестности точки а представляется лорановским разложением (3), главная часть которого содержит конечное число членов; пусть еще Тогда голоморфна в этой окрестности, так же как и

функция Последняя в нашей окрестности представляется разложением

из которого видно, что а является устранимой точкой и существует Но тогда функция стремится к бесконечности при т. е. является полюсом

Отметим еще один простой факт о связи полюсов с нулями. Теорема 2. Точка а является полюсом функции в том и только том случае, если функция голоморфна в окрестности а и

Необходимость условия доказана при доказательстве теоремы 2. Докажем его достаточность. Если голоморфна в точке и то по теореме единственности существует проколотая окрестность этой точки, в которой

В этой окрестности функция голоморфна, следовательно, а является изолированной особой точкой Но следовательно, а является полюсом

Установленная связь позволяет сформулировать Определение 3. Порядком полюса а функции называется порядок этой точки как нуля функции

Из доказательства теоремы 2 видно, что порядок полюса совпадает с номером старшего члена главной части лорановского разложения функции в проколотой окрестности полюса.

Теорема 3. Изолированная особая точка а функции является существенно особой в том и только том случае, если главная часть лорановского разложения в окрестности точки а содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Теорема, по существу, уже содержится в теоремах 1 и 2 (если главная часть содержит бесконечное число членов, не может быть ни устранимой точкой, ни полюсом; если — существенно особая точка, то главная часть не может ни отсутствовать, ни содержать конечное число членов)

Поведение функции в окрестности существенно особой точки характеризует следующая интересная

Теорема 3 (Ю. В. Сохоцкий). Если а является существенно особой точкой функции то для любого числам

можно найти последовательндсть точек такую, что

Пусть Так как по теореме не может быть ограниченной в проколотой окрестности то в этой окрестности найдется точка в которой Точно так же в найдется точка в которой найдется точка в которой Очевидно, и

Пусть теперь . Либо -точки функции имеют а своей предельной точкой, и тогда из них можно выбрать последовательность на которой либо существует проколотая окрестность в которой . В этой окрестности голоморфна функция

для которой а также является существенно особой точкой (ибо и если бы при стремилась к конечному или бесконечному пределу, то также). По доказанному существует последовательность по которой но по этой последовательности

Совокупность предельных значений функции по различным последовательностям точек называют множеством неопределенности функции в точке а. Если а является устранимой точкой или полюсом функции то ее множество неопределенности в этой точке состоит из одной точки (конечной или бесконечной). Теорема Сохоцкого утверждает, что для существенно особой точки реализуется другой крайний случай - множество неопределенности в такой точке заполняет всю замкнутую плоскость С.

Несколько слов об изолированных особых точках в бесконечности. Классификация и теоремы переносятся на случай автоматически. Однако теоремы 1—3, связанные с характером лорановских разложений, нуждаются в

изменениях. Дело в том, что в конечных точках характер особенности определяют главные части лорановских разложений, содержащие отрицательные степени которые имеют особенность в этих точках (отсюда и термин «главная часть»). В бесконечности же отрицательные степени правильны и особенность определяется совокупностью положительных степеней. Поэтому естественно назвать главной частью лорановского разложения функции в проколотой окрестности бесконечной точки совокупность членов этого разложения с положительными степенями. После такого изменения теоремы 1—3 будут справедливыми и для случая

Этот результат сразу получается при помощи замены переменного если обозначить

то, очевидно,

и поэтому имеет в точке ту же особенность, что в точке Например, в случае полюса имеет в разложение

заменяя здесь получим разложение в кольце

где . Его главная часть содержит конечное число членов. Аналогично рассматриваются случаи устранимой и существенно особой точек.

В заключение приведем классификацию простейших голоморфных функций по их особым точкам. Согласно теореме Лиувилля функции, совсем не имеющие особенностей (т. е. голоморфные в С), являются константами. Следующий по простоге класс составляют целые функции.

Определение 4. Целой называется функция, голоморфная во всей плоскости С, т. е. не имеющая конечных особых точек.

Точка является, следовательно, изолированной особой точкой целой функции Если это — устранимая точка, то Если это — полюс, то главная часть лорановского разложения в окрестности бесконечности представляет собой полином Вычитая из эту главную часть, получим также целую функцию, но уже с устранимой точкой в бесконечности. Она является константой, и следовательно, целая функция с полюсом в бесконечности непременно является полиномом.

Целые функции с существенной особенностью в бесконечности называются целыми трансцендентными функциями (таковы, например, функции .

Определение 5. Функция, не имеющая в открытой плоскости С других особенностей, кроме полюсов, называется мероморфной.

Целые функции составляют подкласс класса мероморфных функций (они вовсе не имеют особенностей в С). Так как каждый полюс — изолированная особая точка, то мероморфная функция не может иметь в С более чем счетное множество полюсов. В самом деле, в каждом круге полюсов может быть лишь конечное число (иначе существовала бы их конечная предельная точка, которая является неизолированной особой точкой функции, а не полюсом) и все полюсы можно пересчитать. Примерами мероморфных функций с бесконечным числом полюсов являются

Теорема 4. Если мероморфная функция в бесконечности имеет устранимую точку или полюс (т. е. если она в С не имеет других особенностей, кроме полюсов), то она является рациональной функцией.

Число всех полюсов функции конечно, ибо в противном случае в силу компактности С существовала бы предельная точка полюсов, которая является неизолированной особой точкой, а не полюсом. Обозначим через конечные полюсы и через

главную часть лорановского разложения в окрестности полюса Обозначим еще

главную часть лорановского разложения в окрестности если является устранимой точкой положим

Рассмотрим функцию

она имеет все точки правильными, и по теореме Лиувилля Таким образом,

т. e. является рациональной функцией

Замечание. Формула (8) представляет собой разложение рациональной функции на целую часть и простейшие дроби. Наше рассуждение дает простое доказательство существования такого разложения.

Иногда мы будем употреблять термин «мероморфная функция» в более общем смысле. Именно, будем говорить, что функция мероморфна в области если она не имеет в других особенностей, кроме полюсов. И такая функция не может иметь более чем счетное число полюсов. В самом деле, мы построим компактное исчерпывание области (см. лемму в п. 22) и увидим, что в каждой функция может иметь лишь конечное число полюсов. Если число полюсов функции мероморфной области бесконечно, то предельные точки множества полюсов принадлежат границе