§ 9. Понятие римановой поверхности

Аналитическая функция может сопоставлять точкам плоской области несколько (даже счетное множество) значений. В этом параграфе мы рассмотрим вместо плоских областей многолистные поверхности, которые можно мыслить расположенными над этими областями и которые имеют над точкой столько «листов», сколько значений приписывает аналитическая функция этой точке. Поэтому на таких поверхностях аналитические функции можно рассматривать как функции в обычном смысле слова (т. е. как однозначные функции).

31. Элементарный подход.

Начнем с простейшего примера. Рассмотрим в области которая представляет собой плоскость С с разрезом вдоль отрицательной полуоси, две ветви аналитической функции

Пусть характеризуется условием условием мы имеем, очевидно, Для всех Эти ветви однолистно и конформно отображают соответственно на правую и левую полуплоскости которые мы обозначим через и

Возьмем два экземпляра области и расположим их друг над другом, как указано на рис. 55, а. На рис. 55 указано также соответствие берегов разрезов в области и участков мнимой оси плоскости соответствующие участки отмечены одинаковыми рисунками.

Склеим верхний берег разреза на первом экземпляре области с нижним берегом разреза на втором экземпляре и в соответствии с этим склеим вдоль верхней полуоси (все эти участки отмечены рисунком Затем склеим между собой

оставшиеся свободными берега разрезов на отмеченные рисунком (в трехмерном пространстве при второй склейке нельзя избежать самопересечений, но мы условимся не отождествлять точки луча, по которому происходит самопересечение поверхности, отмеченные разными рисунками).

Полученная двулистная поверхность (она изображена на рис. 55, в) называется римановой поверхностью аналитической функции Этот корень можно рассматривать на ней как функцию в обычном смысле слова, ибо два значения, которые сопоставляет корень каждой точке мы будем относить двум различным точкам поверхности, лежащим над

Рис. 55.

Точки отрицательной полуоси не составляют исключения, ибо над каждой из них также лежит по две точки поверхности (мы ведь условились не отождествлять точки различных листов, принадлежащие линии самопересечения поверхности). Лишь точкам корень сопоставляет по одному значению, поэтому мы будем считать, что над лежит по одной точке поверхности. В этих точках листы нашей поверхности соединяются между собой; они называются критическими точками или точками ветвления поверхности.

Вполне аналогично устроена риманова поверхностьаналитической функции

Она n-листна; над каждой точкой лежит по различных точек поверхности (они называются обыкновенными ее точками), над по одной (критической) точке. На

рис. 56, а, б изображены соответственно части поверхности, лежащие над окрестностью правильной и особой точки функции Точки отрицательной полуоси не составляют исключения; часть поверхности, лежащая над окрестностью такой точки, изображена на рис. 56, в.

Рис. 56.

Так как самопересечение поверхности мы не принимаем в расчет, то топологически этот рисунок не отличается от рис. 56, а — рассматриваемая часть состоит из трех не связанных друг с другом кругов.

Риманова поверхность логарифма

бесконечнолистна. Ее устройство показано на рис. 57. Мы опять берем область плоскость С с разрезом вдоль отрицательной полуоси — и в ней главную ветвь логарифма

Рис. 57.

Эта функция однолистно и конформно отображает на полосу

соответствие берегов разреза и границ полосы указано на рис. 57. Логарифм имеет в области бесконечно много ветвей

отображающих на полосы сдвинутые по отношению к на целое кратное . В соответствии с этим мы берем счетное множество экземпляров области и склеиваем верхний берег разреза на экземпляре с нижним берегом разреза на экземпляре, а нижний берег нулевого разреза — с верхним берегом разреза на экземпляре (рис. 57). К оставшимся свободным берегам мы затем приклеиваем соответственно нижний берег разреза на и верхний берег разреза на экземпляре и т. д.

Над окрестностью каждой точки лежит часть поверхности, состоящая из счетного множества отдельных кругов; каждому кругу мы отнесем ветвь логарифма с соответствующим номером, действующую в этой окрестности (точки отрицательной полуоси не составляют исключения). Поэтому логарифм можно рассматривать на построенной римановой поверхности как функцию в обычном смысле слова. В точках логарифм не определен, поэтсму мы будем считать, что его риманова поверхность не имеет точек над

В качестве более сложного примера рассмотрим риманову поверхность арксинуса

В п. 13 мы видели, что функция однолистно и конформно отображает полуполосу на верхнюю полуплоскость ; ясно, что вся полоса при этом отображается на плоскость с разрезами вдоль лучей и

Мы обозначим последнюю область через и через обозначим ту ветвь арксинуса, которая отображает на полосу ветвь можно характеризовать также условием Так как арксинус имеет счетное множество ветвей, то для построения римановой поверхности мы должны взять счетное множество экземпляров области экземпляру мы отнесем значения ветви арксинуса которая отображает на полосу можно характеризовать также условием

Остается склеить между собой отдельные экземпляры области в соответствии с тем, как склеены их образы Как это сделать, видно из рис. 58

В результате получится бесконечнолистная риманова поверхность, которая имеет над точками счетное множество точек ветвления. В точке она имеет две логарифмические точки ветвления (одну образуют четные экземпляры области другую — нечетные).

Рис. 58.

К этому же выводу можно прийти, исследуя выражение арксинуса через логарифм

32. Общий подход. Здесь мы введем общее понятие римановой поверхности как некоторого абстрактного топологического пространства. Хотя понятием топологического пространства мы уже не раз пользовались, остановимся на нем подробнее.

Определение 1. Множество X называется топологическим пространством, если в нем указана система подмножеств, называемых открытыми множествами, причем:

1) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств снова являются открытыми множествами;

2) пустое множество и все пространство X являются открытыми множествами.

Открытое множество, содержащее точку называется окрестностью этой точки.

Когда на множестве X указывается система открытых множеств (или окрестностей точек), удовлетворяющая требованиям

1) и 2), то говорят, что на X вводится структура топологического пространства. В частности, структуру топологического пространства всегда можно ввести в метрическом пространстве. Для этого достаточно объявить окрестностями точки шары с центром 0 и произвольным радиусом в метрике рассматриваемрго пространства, т. е. множества Открытыми множествами считаются те, которые вместе с каждой точкой содержат и какую-либо окрестность этой точки.

Определение 2. Топологическое пространство X называется хаусдорфовым пространством, если его окрестности удовлетворяют следующей аксиоме отделимости: у любых двух различных точек из X существуют непересекающиеся окрестности.

Пример нехаусдорфова пространства. Точками X служат точки действительной оси топология вводится так: открытыми множествами объявляются ось пустое множество и все множества, получаемые из исключением конечного числа точек. Читатель легко проверит, что аксиомы топологического пространства (требования в определении 1) выполняются, а аксиома отделимости — нет.

Перейдем к описанию общего понятия римановой поверхности. Рассмотрим множество точками которого служат пары

где точка и функция

голоморфна в некотором круге с центром в а; для определенности будем считать кругом сходимости соответствующего ряда (2). Введем в топологию следующим образом: под -окрестностью точки будем понимать совокупность точек таких, что: 1) принадлежит -окрестности точки а (т. е. если если 2) элемент является непосредственным аналитическим продолжением элемента

Можно представлять себе точку А как точку римановой поверхности в описанном в элементарном смысле, лежащую над точкой Дополнительное указание функции равносильно указанию листа, которому эта точка принадлежит. Окрестность состоит из точек В того же листа,

которые проектируются в окрестность точки а (рис. 59); точки других листов, проектирующиеся в ту же окрестность (как В на рис. 59), не считаются принадлежащими

Нетрудно видеть, что описанная топология вводит на - структуру хаусдорфова пространства. В самом деле, если в этом пространстве считать открытыми множествами те, которые содержат вместе с каждой точкой и какую-либо окрестность этой точки, то требования из определения 1 будут выполняться. Проверим выполнение аксиомы отделимости: если то либо либо но Для построения непересекающихся окрестностей в первом случае достаточно выбрать непересекающиеся окрестности точекаибна С, а во втором — выбрать столь малым, чтобы -окрестность точки а принадлежала кругам сходимости обоих рядов и в включить все точки где является непосредственным продолжением а в — все точки где непосредственное продолжение (окрестности не пересекаются, ибо иначе элемент совпадал бы с .

Рис. 59.

Определение 3. Хаусдорфово пространство 91, точками которого служат пары где голоморфная в точке а функция, а топология введена описанным способом, называется римановьш многообразием.

Можно определить проекцию риманова многообразия в С как отображение

Глобально это отображение не является взаимно однозначным, ибо на существует бесконечно много точек с одной и той же проекцией. Но локально оно взаимно однозначно. В самом деле, если точка принадлежит кругу сходимости ряда то непосредственное аналитическое продолжение элемента вполне определено и, следовательно, в достаточно малой окрестности существует лишь одна точка с проекцией Очевидно также, что и (3), и обратное к нему отображение непрерывны, поэтому проекция является локальным гомеоморфизмом.

Проекция преобразует окрестность в некоторый круг плоскости совершая дополнительное дробно-линейное

отображение этого круга на единичный круг можно считать, что в определен гомеоморфизм

Каждая точка однозначно характеризуется своей проекцией следовательно, точкой единичного круга. Поэтому можно рассматривать как локальный параметр, действующий в окрестности

Если окрестности пересекаются, то возникает отображение друг на друга частей параметрических кругов, соответствующих этому пересечению:

оно называется соотношением соседства (рис. 60). Так как соотношение соседства является композицией дробно-линейных отображений, то оно также дробнолинейно, т. е. конформно.

Рис. 60

Определение 4. Хаусдорфово пространство, которое можно покрыть системой окрестностей, гомеоморфных кругам, так, что все порождаемые этими гомеоморфизмами соотношения соседства оказываются конформными отображениями, называется комплексно аналитическим многообразием (комплексной размерности 1).

Таким образом, доказана

Теорема 1. Риманово многообразие является комплексно аналитическим многообразием комплексной размерности 1.

Комплексно аналитические многообразия высших размерностей мы рассмотрим во второй части книги.

Риманово многообразие очевидно, несвязно. Однако любое подмножество его точек где являются ветвями одной аналитической функции, связно. В самом деле, если точки принадлежат то элементы и получаются друг из друга продолжением вдоль некоторого пути Но тогда и точки для любого Тем самым определено непрерывное отображение т. е. путь принадлежащий и связывающий точки Таким образом, даже линейно связно (см. п. 4). Кроме того, вместе с каждой точкой А содержит и некоторую окрестность т. е. является открытым множеством. Поэтому является областью пространства

Мы доказали, что каждой аналитической функции соответствует некоторая область риманова многообразия Очевидно, что и, обратно, каждой области на 9? соответствует некоторая аналитическая функция. Таким образом, доказана

Теорема 2. Между аналитическими функциями и областями риманова многообразия имеется взаимно однозначное соответствие.

Определение 5. Область риманова многообразия которая характеризуется условием, что голоморфные функции принадлежащие ее точкам являются ветвями некоторой аналитической функции, называется римановой поверхностью этой функции.

Мы пришли к общему понятию римановой поверхности. Смысл этого понятия состоит в том, что каждую аналитическую функцию мы можем рассматривать на ее римановой поверхности как функцию в обычном смысле слова (т. е. однозначную функцию). В самом деле, по построению риманова поверхность имеет столько точек А с данной проекцией а, сколько различных элементов с данным центром а имеет аналитическая функция, т. е. сколько значений относит аналитическая функция этой точке а.

Таким образом, аналитическая функция является функцией точки на ее римановой поверхности-.

(а не функцией точки а на плоскости).

На комплексно аналитическом многообразии, каким является риманова поверхность, можно ввести понятие голоморфной функции, и тогда окажется, что аналитическая функция голоморфна на своей римановой поверхности (см. § 9 ч. II).

Римановы поверхности в элементарном смысле, рассмотренные в предыдущем пункте, можно рассматривать как модели общих римановых поверхностей. Заметим, что в теории функций рассматривают и другие модели. Можно, например, отправляться не от многозначных, а от однозначных функций и строить римановы поверхности так, чтобы эти функции были на них взаимно Однозначными, — тогда (многозначные) обратные функции будут (однозначно) отображать плоские области на построенные поверхности.

Построим, например, поверхность, на которой взаимно однозначна показательная функция . Мы знаем, что она переводит в одну точку такие и только такие точки, разность между

которыми является целым кратным Поэтому для нашей цели естественно отождествить точки , где произвольное целое число.

Иными словами, пусть совокупность сдвигов плоскости С на векторы, целые кратные

Очевидно, что образует группу (относительно композиции, последовательного выполнения преобразований), которая является подгруппой группы всех дробно-линейных преобразований (см. п. 8).

Рис. 61.

Обозначим через класс эквивалентности точки по группе т. е. совокупность всех точек где (иначе говоря, совокупность всех точек а Совокупность таких классов эквивалентности мы обозначим через элементы последнего множества можно рассматривать как отождествленные точки

Введем теперь на множестве топологию. Для этого под окрестностью точки мы условимся понимать совокупность точек где произвольная точка из окрестности (в топологии С) какого-либо представителя а класса эквивалентности Таким образом, превращается в топологическое пространство.

Это пространство можно представить наглядно следующим образом. Будем выбирать представителей классов эквивалентности так, чтобы они лежали в полосе Достаточно малая окрестность точки для которой изобразится тогда кругом с центром в а окрестность точки для которой совокупностью двух полукругов (рис. 61). Если мы склеим из нашей полосы цилиндр так, как это показано на рис. 61, то окрестности всех точек будут естественными окрестностями на цилиндре.

Таким образом, рассматриваемое пространство с введенной в нем топологией является цилиндром в трехмерном пространстве. Этот цилиндр можно рассматривать как риманову поверхность показательной функции (логарифм взаимно однозначно отображает на нее плоскость С с выколотым началом координат).

Рассмотрим еще один пример. В п. 41 мы введем мероморфную функцию — эллиптический синус которая имеет два периода: действительный и чисто мнимый в прямоугольнике она однолистна. Следовательно, для построения ее римановой поверхности достаточна отождествить точки где целые числа. Иными словами, надо рассмотреть группу движений и рассмотреть пространство точками которого служат классы эквивалентности точек по группе Топология в этом пространстве вводится, как в предыдущем примере: под окрестностью точки понимается совокупность классов эквивалентности где произвольная точка из окрестности (в топологии С) какого-либо представителя класса

Рис. 62.

Введение этой топологии превращает в обычный тор (рис. 62), который и можно рассматривать как риманову поверхность эллиптического синуса.

В заключение этой главы мы хотим описать другую трактовку риманова многообразия Чтобы прийти к этой трактовке, заметим прежде всего, что в определении точек как пар где функция, голоморфная в некоторой окрестности точки выбор такой окрестности несуществен. Поэтому можно считать, что точками служат ростки аналитических функций. Совокупность всех ростков в данной точке а образует кольцо, которое принято обозначать символом . Множество таким образом, можно рассматривать как поэлементное (дизъюнктное) объединение колец по всем

Далее, на множестве введена топология при помощи окрестностей, которые можно описать в терминах ростков следующим образом: окрестность ростка состоит из всех ростков и, для которых принадлежит некоторой окрестности и существует голоморфная в функция такая, что элемент

является представителем обоих ростков Как мы видели, эта топология превращает в хаусдорфово пространство. В этой топологии отображение

которое каждому ростку ставит в соответствие точку а, является локальным гомеоморфизмом.

Пространство вместе с отображением называют пучком ростков аналитических функций. Это понятие отражает локальный подход к понятию аналитической функции. Однако оно допускает и глобальный подход. В самом деле, рассмотрим произвольную область и голоморфную в ней функцию Эта функция определяет отображение которое каждой точке ставит в соответствие росток порождаемый этой функцией в точке Отображение очевидно, непрерывно в топологии а композиция является тождественным в области отображением.

Такое отображение называется сечением пучка над областью Множество всех сечений над областью образует кольцо, причем алгебраические операции в нем согласуются с операциями над ростками в любой точке

Мы ограничиваемся здесь этим описанием. Общее определение понятия пучка будет приведено во второй части книги (см. п. 34).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)