35. Принцип максимума модуля и лемма Шварца.

Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой:

Теорема 1. Если функция голоморфна в области и ее модуль достигает (локального) максимума в некоторой точке то постоянна.

Воспользуемся принципом сохранения области. Если то она преобразует в точку области Существует круг а в нем найдется точка такая, что Значение принимается функцией в некоторой окрестности точки а это противоречит тому, что достигает максимума в этой точке

Учитывая свойства функций, непрерывных на замкнутых множествах, принцип максимума модуля можно сформулировать еще и так:

Теорема 2. Если функция голоморфна в области и непрерывна в то достигает максимума на границе

Если а значит, в силу непрерывности то утверждение тривиально. Если то не может достигать максимума в точках а так как этот максимум должен достигаться в то он достигается на

Аналогичное утверждение для минимума модуля, вообще говоря, несправедливо. Это видно из примера функции в круге (минимум достигается в точке Однако справедлива такая

Теорема 3. Если функция голоморфна в области и не обращается в нуль в этой области, что может достигать (локального) минимума внутри лишь в случае

Для доказательства достаточно применить теорему 1 к функции которая голоморфна в ибо

Полученные результаты показывают, что поверхность модуля голоморфной функции, т. е. поверхность в пространстве с уравнением (см. п. 5), имеет некоторые структурные

особенности. Именно, она не может иметь локальных максимумов и локальных минимумов, если последние не находятся на уровне (точки на рис. 64). Касательная плоскость к этой поверхности горизонтальна в тех и только тех точках, где обращаются в нуль обе производные и или - что то же самое - обе производные и (стационарные точки). Простой подсчет показывает, что

откуда видно, что стационарными точками функции могут быть либо ее нули (минимумы на уровне р = 0, такие, как точка с на рис. 64), либо нули ее производной (точки перевала поверхности модуля, такие, как точка d на рис. 64).

Рис. 64.

Принцип максимума модуля имеет важные применения в теории функций. Например, при помощи этого принципа легко объяснить, почему теорема Рунге несправедлива для многосвязных областей. В самом деле, в неодносвязной области D существует замкнутая жорданова кривая , внутри которой есть хотя бы одна точка . Если некоторая функция приближается полиномами равномерно на любом компакте , то существует последовательность полиномов Рп, равномерно сходящаяся к на у. По критерию Коши для любого найдется номер N такой, что для всех в любой точке

По принципу максимума модуля эти неравенства справедливы и во всех точках области ограниченной кривой у, а отсюда по тому же критерию последовательностью сходится

равномерно в По теореме Вейерштрасса является функцией, голоморфной в G. Но в точках этот предел совпадает с следовательно, голоморфно продолжается в частности, в точку 20. Так как не любая функция из обладает этим свойством (например, им не обладает), то и не все функции из можно равномерно приблизить полиномами, вопреки тому, что утверждает теорема Рунге.

Простым следствием принципа максимума модуля является также

Лемма Шварца. Пусть функция голоморфна в круге по модулю не превосходит там для всех Тогда для всех

причем если равенство достигается хотя в одной точке , то оно справедливо всюду в и в этом случае , где а — действительная постоянная.

Рис. 65.

Рассмотрим функцию в силу условия она голоморфна в Рассмотрим произвольный круг по теореме 2 функция достигает максимума на его границе Но на имеем ибо по условию поэтому всюду в

Фиксируем 2 и устремим к 1; в пределе из неравенства (3) получим, что т. е. что для всех Так как любую точку можно погрузить в некоторый круг то неравенство (2) доказано.

Если в какой-либо точке в (2) имеет место знак равенства, то достигает в ней максимального значения, равного 1. Тогда является постоянной, модуль которой, очевидно, равен 1, т. е.

Из леммы Шварца следует, что при конформном отображении в круг переводящем центр в центр, образ любой окружности лежит внутри круга (рис. 65). При этом образ может иметь общие точки с лишь в том случае, когда сводится к вращению вокруг точки