13. Тригонометрические функции.

Из формулы Эйлера для всех действительных х мы имеем откуда

Эти формулы можно использовать для голоморфного продолжения косинуса и синуса в комплексную плоскость, положив по определению для любого

(голоморфность в С правых частей очевидна).

Все свойства этих функций вытекают из этого определения и соответствующих свойств показательной функции. Так, обе они периодические с основным периодом (показательная функция имеет период но в формулах (1) есть множитель при равный косинус — четная, а синус — нечетная функция.

Для этих функций сохраняются обычные формулы дифференцирования

аналогично . Сохраняются также тригонометрические соотношения, такие, как

теоремы сложения и т. д.; читатель без труда выведет их из формул (1).

Рис. 21.

Тригонометрические функции комплексного переменного тесно связаны с гиперболическими, которые для любого определяются обычными формулами

Эта связь выражается соотношениями

которые видны из сравнения формул (1) и (2).

Пользуясь теоремой сложения и формулами (3), находим

откуда

(мы воспользовались тождествами Эта формула позволяет построить поверхность модуля (рельеф) косинуса; она изображена на рис. 21,

Для примера рассмотрим еще отображение полуполосы которое осуществляется функцией Мы представим это отображение как композицию уже известных нам отображений

и тогда увидим, что однолистно (и конформно) отображает полуполосу на верхнюю полуплоскость. На рис. 22 изображено соответствие линий при этом отображении: лучам соответствуют лежащие в верхней полуплоскости части гипербол с фокусами ±1, а отрезкам такие же части эллипсов с теми же фокусами.

Рис. 22.

Из этого рисунка видно, что на вертикальных границах полуполосы синус принимает действительные значения, по модулю большие 1.

Тангенс и котангенс для комплексных значений аргумента определяются формулами

и рационально выражаются через показательную функцию:

Эти функции голоморфны всюду в С, за исключением тех точек, где знаменатели дробей в формулах (6) обращаются в нуль (в этих точках числители отличны от нуля). Найдем такие точки, например, для . В них имеем т. е.

отсюда в силу условия (8) п. 12 находим

Тангенс и котангенс в комплексной плоскости остаются периодическими с действительным периодом для них сохраняются обычные формулы дифференцирования и тригонометрические соотношения — все эти утверждения легко получить из формул (6).

Рис. 23.

Из формулы (4) и аналогичной формулы для синуса находим

На рис. 23 изображен рельеф тангенса. Он имеет резко выраженные пики над точками , в которых тангенс теряет голоморфность.

Отображения, осуществляемые функциями представляют собой композицию уже известных отображений. Например, сводится к таким отображениям:

Полосу эта функция однолистно и конформно отображает на внутренность единичного круга.

Рис. 24.

Прямые при этом преобразуются в дуги окружностей, проходящих через точки а отрезки в дуги окружностей, для которых эти точки симметричны (рис. 24).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)