Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
13. Тригонометрические функции.Из формулы Эйлера для всех действительных х мы имеем
Эти формулы можно использовать для голоморфного продолжения косинуса и синуса в комплексную плоскость, положив по определению для любого
(голоморфность в С правых частей очевидна). Все свойства этих функций вытекают из этого определения и соответствующих свойств показательной функции. Так, обе они периодические с основным периодом Для этих функций сохраняются обычные формулы дифференцирования
аналогично
теоремы сложения и т. д.; читатель без труда выведет их из формул (1).
Рис. 21. Тригонометрические функции комплексного переменного тесно связаны с гиперболическими, которые для любого
Эта связь выражается соотношениями
которые видны из сравнения формул (1) и (2). Пользуясь теоремой сложения и формулами (3), находим
откуда
(мы воспользовались тождествами Для примера рассмотрим еще отображение полуполосы
и тогда увидим, что
Рис. 22. Из этого рисунка видно, что на вертикальных границах полуполосы синус принимает действительные значения, по модулю большие 1. Тангенс и котангенс для комплексных значений аргумента определяются формулами
и рационально выражаются через показательную функцию:
Эти функции голоморфны всюду в С, за исключением тех точек, где знаменатели дробей в формулах (6) обращаются в нуль (в этих точках числители отличны от нуля). Найдем такие точки, например, для отсюда в силу условия (8) п. 12 находим Тангенс и котангенс в комплексной плоскости остаются периодическими с действительным периодом
Рис. 23. Из формулы (4) и аналогичной формулы для синуса находим
На рис. 23 изображен рельеф тангенса. Он имеет резко выраженные пики над точками Отображения, осуществляемые функциями
Полосу
Рис. 24. Прямые ЗАДАЧИ(см. скан) (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|