42. Логарифмический вычет.

Как и в плоском случае, он оказывается связанным с понятием индекса. Рассмотрим сначала действительный случай. Пусть в задан гладкий -мерный цикл т. е. замкнутая поверхность класса (здесь -мерный куб). Предположим, что а не содержит точку и назовем индексом этой поверхности (в смысле А. Пуанкаре) относительно величину

где площадь -мерной сферы Индекс в смысле Пуанкаре является прямым -мерным аналогом индекса на плоскости: полагая в получим

Форма под интегралом (1)

имеет особенность в точке и замкнута в ибо при

Отсюда по формуле Стокса мы заключаем, что если два цикла а, и гомологичны друг другу в (т. е. разность ограничивает некоторую цепь из не содержащую точку то интегралы от со по этим циклам равны. Так как базой -мерных гомологий в служит единичная сфера то любой рассматриваемый цикл а гомологичен этой сфере с некоторым целочисленным коэффициентом По только что сделанному замечанию

откуда снова по формуле Стокса

где объем -мерного шара Таким образом,

Переходя к комплексной структуре, мы рассмотрим четномерное пространство и введем в нем координаты

. Индекс -мерного цикла а, не содержащего точку записывается формулой

которая после простых преобразований определителя переписывается так:

Форму под интегралом (2) можно записать в виде

где как всегда Эта форма имеет особенность в точке и замкнута в По тем же соображениям, что и выше, о гомологичен целочисленному кратному границы поликруга и

(мы считаем, что берется с коэффициентом и потому не ставим множитель перед интегралом).

Оказывается, что подобно тому, как это делалось при выводе формулы Вейля в повторным применением формулы Стокса можно понизить размерность множества интегрирования

до и одновременно исключить неаналитичность подинтегральной формы. Мы получим тогда формулу для индекса в виде

целочисленное кратное остова поликруга Эта формула вполне аналогична плоской формуле для индекса замкнутого пути относительно точки

Для формальных упрощений проведем соответствующую выкладку в случае Мы имеем и формула (3) принимает вид

Границу бикруга разобьем на две части: имеем следовательно, соответствующая часть интеграла

Форма под интегралом точна, она является дифференциалом формы самом деле, если учесть, что на поэтому по формуле Стокса

Аналогично интеграл по равен

и, складывая полученные выражения, мы получим формулу (4) при

Мы придем к пространственному аналогу логарифмического вычета, если будем рассматривать следующую задачу. Пусть в области заданы голоморфных функций

независимых в том смысле, что якобиан не равен тождественно нулю. Предположим еще, что общие нули этой системы функций, т. е. точки пересечения всех аналитических поверхностей образуют изолированное множество Заметим, что это предположение не следует из предыдущего (пример: ; якобиан равен а общие нули системы заполняют плоскость . В области пусть дана область с жордановой гладкой границей 5, не содержащей точек из Требуется определить общее число нулей системы (5) в с учетом их порядков.

Эта задача решается точно так же, как плоская. Мы выбираем на 5 параметры и рассматриваем индекс относительно точки цикла который соответствует при отображении (5). По формуле (2) этот индекс равен

где Так как под знаком интеграла здесь стоит форма неособая и замкнутая в то по формуле Стокса этот интеграл можно представить как сумму интегралов по замкнутым жордановым поверхностям каждая из которых содержит внутри одну и только одну точку . В качестве таких 5 можно взять, например, границы компонент множества Вейля для достаточно малых и мы получим по формуле (3)

где Если в (6) сделать переход к интегрированию по -мерному остову множества такой же, как переход от формулы (3) к (4), мы получим

При достаточно малых каждая компонента множества содержит внутри одну и только одну точку интеграл (6) по этой компоненте или равный ему интеграл (7) по остову этой компоненты естественно назвать локальным индексом отображения (5) в точке а или иначе порядком общего нуля а системы (5). Мы получаем тогда следующий пространственный аналог принципа аргумента:

Теорема 1 (о логарифмическом вычете). Пусть в области задана система голоморфных функций с изолированным множеством общих нулей, пусть еще область с жордановой границей не содержащей точек Тогда общее число нулей внутри с учетом их порядка равно индексу относительно точки образа границы при отображении который можно вычислить по формуле (6) или (7) при достаточно малом

Пример. Система функций

с якобианом, равным имеет в шаре из один нуль в точке Порядок этого нуля по формуле (7) равен

где остов области Вейля Пользуясь методом Мартинелли, можно доказать, что искомый порядок

Из принципа аргумента, как и в плоском случае, получается

Теорема 2 (Руше). Пусть в области заданы две системы функций с изолированными множествами нулей; Пусть еще область с жордановой границей и всюду на

где Тогда система имеет в столько же нулей, сколько имеет их там система (с учетом порядка нулей).

Обозначим через соответственно -меркые циклы, которые получаются из при отображениях Через мы обозначим образ при отображении Очевидно, семейство определяет гомотопию циклов причем так как по условию на имеем для всех то это гомотопия

в Отсюда следует, что циклы гомологичны друг другу в разность ограничивает открытое множество из которое заметают циклы при изменении от 0 до 1). Но тогда циклы имеют одинаковый индекс относительно точки и утверждение следует из теоремы Замечание. Если на границе известен -мерный цикл интегрирование по которому по формуле (7) приводит к индексу образа при отображении то требование теоремы 2 можно ослабить. Именно, достаточно требовать, чтобы неравенство (8) выполнялось не на всей -мерной поверхности а лишь на таком -мерном цикле