§ 12. Соответствие границ и принцип симметрии

39. Соответствие границ.

Приведем без доказательства так называемый принцип соответствия границ:

Теорема (Каратеодори). Пусть области ограничены жордановыми кривыми тогда конформное отображение можно продолжить на границу до гомеоморфизма замкнутых областей

Для произвольных гомеоморфизмов теорема, конечно, несправедлива. Например, отображение единичного круга V на себя, которое в полярных координатах задается уравнениями

очевидно, гомеоморфно, но на граничную окружность непрерывно не продолжается.

Рис. 66.

Точно так же неверна теорема и для конформных отображений на области, границы которых нежордановы. Рассмотрим, например, конформное отображение круга область изображенную на рис. 66, в состав границы которой входит часть кривой с предельным сегментом

Можно доказать, что при этом отображении дугам отрезающими от области пересечение замыканий которых совпадает с у, в плоскости соответствуют дуги отрезающие от области причем совпадает с некоторой граничной точкой (рис. 66). В этом смысле при отображении точке соответствует целый отрезок у, так что нельзя непрерывно продолжить в замкнутый круг

К. Каратеодори ввел так называемые граничные элементы области, понимая под ними классы в известном смысле эквивалентных сечений этой области. Присоединение к области ее граничных элементов называется компактификацией по Каратеодори. Он доказал, что конформное отображение

областей устанавливает взаимно однозначное и в некотором смысле непрерывное соответствие граничных элементов этих областей. Поэтому сформулированная выше теорема распространяется и на нежордановы области, если пользоваться при этом компактификацией по Каратеодори вместо обычных замыканий.

Приведем, также без доказательства, несколько более точных результатов о граничном поведении конформных отображений областей с жордановыми границами при дополнительных предположениях об этих кривых. Через будем обозначать границы областей и через конформное отображение.

I (Ф. и М. Риссы, И. И. Привалов). Если спрямляемые жордановы кривые, то продолжается на как абсолютно непрерывная функция длины дуги. Производная почти в каждой точке (в смысле линейной меры) имеет угловое граничное значение конечное и отличное от нуля, и для любого множества точек мера образа равна

в частности, множествам меры 0 соответствуют множества меры 0.

II (Линделёф). Если гладкие жордановы кривые, то продолжается до непрерывной функции в причем для всего

где и соответственно — углы наклона касательных к кривым в точках (Келлог). Если в условиях и обозначениях предыдущей теоремы, кроме того, углы , как функции длины дуги соответственно на удовлетворяют условию Липшица

где постоянные, то производная продолжается до непрерывной и отличной от нуля функции в (отображение «конформно» на границе).

IV (Шварц). Если аналитические жордановы кривые, то продолжается до голоморфной функции в

Доказательство утверждений I—III можно найти в книге Г. М. Голузина «Геометрическая теория функций комплексного переменного» (М. - Л., 1967); утверждение IV мы докажем в следующем пункте. Здесь приведем только более простой обратный принцип соответствия границ:

Теорема. Пусть даны области компактно принадлежащие С, с жордановыми границами у и у; если функция голоморфна в области непрерывна в и устанавливает взаимно однозначное отображение , то и отображение взаимно однозначно (т. е. - конформный изоморфизм).

Пусть произвольная точка так как на у принимает лишь значения из у, то на у и, в силу непрерывности, в некоторой граничной полосе области Величина

(где arg обозначает какую-либо непрерывную вдоль пути у ветвь аргумента и — приращение этой ветви на очевидно, непрерывно меняется при гомотопной деформации пути в полосе Но так как величина (4) может принимать лишь целочисленные значения, то она остается постоянной при такой деформации.

По условиям теоремы отображение гомеоморфно, следовательно,

ибо при однократном обходе у вектор делает один поворот (рис. 67). В силу сказанного выше следует, что и для любого пути у, гомотопного у в полосе имеем

К области ограниченной кривой у, применим принцип аргумента по которому уравнение имеет в значит, и в ибо в полосе нет -точек) точно один корень.

Так же доказывается, что для любой точки число нулей функции в области равное

равно 0, ибо при обходе у вектор не делает ни одного полного оборота (рис. 67).

Рис. 67.

Из принципа сохранения области следует, далее, что не может принимать в и значений из у, ибо в этом случае она должна была бы принимать значения из дополнения к

Таким образом, один и только один раз принимает в области любое значение из и не принимает никаких других Значений, т. е. взаимно однозначно отображает на Замечание. В доказанной теореме может быть произвольной областью на С (с жордановой границей), но обязана быть компактной в С, ибо функция должна быть непрерывной в в смысле С. Последнее условие существенно: в самом деле, функция голоморфна в верхней полуплоскости и взаимно однозначно отображает на ось и — границу верхней полуплоскости но в области отображение не взаимно однозначно.

Пример. Изучим отображение верхней полуплоскости осуществляемое эллиптическим интегралом, первого рода

где параметр и рассматривается голоморфная в ветвь корня, которая на отрезке оси х принимает положительные значения.

Функция непрерывно продолжается в и мы выясним сначала, как она преобразует границу ось Когда описывает слева направо отрезок интеграл (5)

принимает положительные (в силу сделанного выбора ветви корня) значения, возрастающие от 0 до значения

т. е. F устанавливает гомеоморфизм отрезков [0, 1] оси х и оси .

При переходе через точку один из четырех линейных множителей подкоренного выражения, именно меняет знак. Так как мы рассматриваем ветвь корня, голоморфную в верхней полуплоскости то мы должны считать, что такой переход происходит в результате обхода точки по малой полуокружности (пунктир на рис. 68). В результате такого обхода меняется от 0 до а аргументы остальных множителей не меняются. Поэтому на отрезке оси х аргумент корня равен а аргумент подинтегрального выражения в (5) равензначения F на отрезке II можно, следовательно, представить в виде

Рис. 68.

где в последнем интеграле корень опять принимает положительные значения. Когда х описывает слева направо отрезок оси х, точка описывает снизу вверх отрезок плоскости , где

При переходе через точку еще один множитель подкоренного выражения, меняет знак. Как и выше, мы убедимся в том, что рассматриваемая ветвь корня на луче оси х должна иметь аргумент т. е. принимать отрицательные значения. Значения F на этом луче представляются, следовательно, в виде

где в последнем интеграле корень принимает положительные значения. Замена переменных показывает, что

поэтому луч функция F преобразует (и притом гомеоморфно) в отрезок плоскости (см. рис. 68). Совершенно аналогично проверяется, что функция F гомеоморфно преобразует отрицательную полуось х в левую половину контура прямоугольника, изображенного на рис. 68 (совокупность отрезков

Применяя принцип соответствия границ, можно утверждать, что эллиптический интеграл первого рода реализует конформное отображение верхней полуплоскости на прямоугольник с вершинами где величины выражаются через параметр по формулам (6) и (7).