Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 14. Аналитические множестваВ этом параграфе мы несколько подробнее рассмотрим понятие аналитического множества, с которым неоднократно встречались на предыдущих страницах. Такие множества задаются системами уравнений Основную роль в этих исследованиях играет подготовительная теорема Вейерштрасса (см. п. 6), которая позволяет заменять голоморфные функции в левых частях уравнений полиномами относительно одного из переменных и тем самым алгебраизировать задачу. 43. Понятие аналитического множества.Определение 1. Назовем
Мы будем называть Понятие аналитического множества не совпадает с понятием аналитического многообразия: например, множество Определение 2. Аналитическое в точке окрестности а его нельзя представить в виде объединения Примеры. Аналитическое множество Понятие неприводимости аналитических множеств связано с понятием неприводимости функций. Голоморфная в точке Отметим простую теорему, относящуюся к разложению функций на неприводимые множители. Теорема 1. Любую функцию Подготовительная теорема Вейерштрасса Следствие. Любое аналитическое в точке а множество Объединяя одинаковые множители в разложении голоморфной в точке а функции однозначно определяемое (с точностью до множителей, отличных от нуля в а) представление
где Мы воспользуемся разложением (2), чтобы сформулировать Определение 3. Пусть Это определение мы и имели в виду в п. 38, когда говорили о дивизорах мероморфных функций. Перейдем к описанию простейших аналитических множеств комплексной размерности
предполагается, что
не равен тождественно нулю на каждой неприводимой компоненте множества Будем различать два типа точек таких множеств, а) Обыкновенные точки. Точка
т. е. отлична от нуля хотя бы одна из частных производных Пусть для определенности окрестности
где Аналитическое множество локально неприводимо в каждой своей обыкновенной точке — это видно из представимости уравнением (6). В окрестности обыкновенной точки множество
которая называется касательной аналитической плоскостью. б) Критические точки. Так называются точки аналитического множества
т. е. равны нулю все производные Пусть
где функции Уравнение (9) имеет
причем функции
где Легко видеть, что дискриминантное множество содержит проекцию в пространство уравнениями (10), где Отсюда следует, что совокупность критических точек образует на Таким образом, критических точек на аналитическом множестве сравнительно мало, и основную массу его точек составляют правильные точки. В окрестности правильных точек аналитические множества устроены, как комплексно Переходя к описанию множеств, которые задаются при помощи нескольких функций, приведем Определение 4. Пусть дано неприводимое множество
где функции
все миноры порядков выше В случае одного уравнения (с функцией а) Обыкновенные точки. Так мы будем называть точки комплексно Пусть
(в случае надобности мы можем переименовать переменные). По теореме существования неявных функций в некоторой окрестности точки а мы можем разрешить систему уравнений
причем функции голоморфны в некоторой окрестности Отсюда видно, что в окрестности обыкновенной точки а множество Из представимости уравнениями (14) видно также, что аналитическое множество локально неприводимо в каждой своей обыкновенной точке. Отметим еще, что в каждой обыкновенной точке множество имеет комплексно
б) Критические точки. Так называются точки комплексно Используя алгебраические методы, можно доказать следующее естественное обобщение теоремы 1: Теорема 1. Любое аналитическое в точке В некоторых вопросах полезно локализовать понятие аналитического множества. Для этого вводится Определение 4. Пусть в окрестностях Естественным образом определяется понятие объединения ростков, а также неприводимого ростка как ростка, который нельзя представить в виде объединения отличных от него ростков аналитических множеств. Локальной теорией аналитических множеств мы здесь заниматься не будем. Приведем в заключение теорему, которую можно рассматривать как обобщение теоремы единственности для функций одного переменного. Теорема 2. Если аналитическое в области
дискретно, т. е. не имеет связных компонент, отличных от точки, то оно не может иметь предельных точек внутри Будем доказывать теорему индукцией по
где Рассмотрим результанты многочленов
— голоморфные функции
совпадает с проекцией
|
1 |
Оглавление
|