§ 14. Аналитические множества

В этом параграфе мы несколько подробнее рассмотрим понятие аналитического множества, с которым неоднократно встречались на предыдущих страницах. Такие множества задаются системами уравнений где голоморфные функции, поэтому исследование аналитических множеств сводится к изучению неявно заданных функций. Частным случаем этой задачи является задача об обращении голоморфных отображений, и мы рассмотрим ее здесь же.

Основную роль в этих исследованиях играет подготовительная теорема Вейерштрасса (см. п. 6), которая позволяет заменять голоморфные функции в левых частях уравнений полиномами относительно одного из переменных и тем самым алгебраизировать задачу.

43. Понятие аналитического множества.

Определение 1. Назовем аналитическим множеством в точке если в некоторой окрестности этой точки его можно представить как множество общих нулей конечного числа голоморфных в функций

Мы будем называть аналитическим множеством, если оно является аналитическим в каждой своей точке.

Понятие аналитического множества не совпадает с понятием аналитического многообразия: например, множество в окрестности точки не гомеоморфно шару. В этом примере множество распадается на два отдельных аналитических множества которые уже являются многообразиями. В ряде вопросов важно исключить подобные распадения. Для этого вводится

Определение 2. Аналитическое в точке множество называется неприводимым в этой точке, если ни в какой

окрестности а его нельзя представить в виде объединения где непустые и отличные от аналитические в точке а множества. Множество называется локально неприводимым в точке а, если оно неприводимо в каждой своей точке из некоторой окрестности а.

Примеры. Аналитическое множество приводимо вначале координат ибо оно разбивается на два аналитических множества Множество неприводимо в начале, но не является локально неприводимымв этой точке, ибо оно приводимо в точках (оно представляется в виде объединения множеств где обозначает одну из двух голоморфных в точке ( ветвей корня). Множество локально неприводимо в начале (и в других точках, конечно).

Понятие неприводимости аналитических множеств связано с понятием неприводимости функций. Голоморфная в точке функция называется неприводимой в точке а, если ее нельзя представить в виде произведения двух функций, голоморфных в а, каждая из которых равна нулю в этой точке.

Отметим простую теорему, относящуюся к разложению функций на неприводимые множители.

Теорема 1. Любую функцию голоморфную в точке а и равную там нулю, можно разложить в произведение неприводимых голоморфных в а функций, причем такое разложение единственно с точностью до множителей, отличных от нуля в точке а.

Подготовительная теорема Вейерштрасса сводит задачу к разложению многочленов (по одному из переменных), а любой многочлен, как известно из алгебры, можно единственным способом (с точностью до делителя единицы) представить в виде произведения неприводимых многочленов. Для этого достаточно воспользоваться алгоритмом Евклида нахождения наибольшего общего делителя

Следствие. Любое аналитическое в точке а множество можно представить как конечное объединение неприводимых в этой точке аналитических множеств.

Объединяя одинаковые множители в разложении голоморфной в точке а функции согласно теореме 1, мы получаем

однозначно определяемое (с точностью до множителей, отличных от нуля в а) представление

где голоморфны и неприводимы в точке при — положительные целые числа. Каждое множество которое в окрестности а задается уравнением неприводимо в точке , и является для него определяющей функцией (см. п. 33).

Мы воспользуемся разложением (2), чтобы сформулировать Определение 3. Пусть голоморфная в точке а функция и Число в разложении (2) называется порядком нулевого множества функции в точке а. Если мероморфна в точке , то в окрестности этой точки где голоморфны в , не имеют общих множителей, голоморфных и равных нулю в , и числа аналогичным образом определяемые для функции называются порядками полярных множеств функции в точке .

Это определение мы и имели в виду в п. 38, когда говорили о дивизорах мероморфных функций.

Перейдем к описанию простейших аналитических множеств комплексной размерности которые задаются в области при помощи одной голоморфной функции

предполагается, что и что градиент

не равен тождественно нулю на каждой неприводимой компоненте множества

Будем различать два типа точек таких множеств,

а) Обыкновенные точки. Точка аналитического множества (3) называется обыкновенной, если в ней

т. е. отлична от нуля хотя бы одна из частных производных

Пусть для определенности По теореме существования неявных функций (см. п. 13) уравнение которое записывается в виде в достаточне малой

окрестности точки можно переписать в виде, разрешенном относительно

где голоморфная в функция. Отсюда видно, что в окрестности обыкновенной точки а множество является аналитическим многообразием комплексной размерности : за локальный параметр можно принять переменное а за область его изменения — окрестность (отображение определяемое (6), голоморфно, и различным точкам соответствуют точки различные просто потому, что их проекции различны).

Аналитическое множество локально неприводимо в каждой своей обыкновенной точке — это видно из представимости уравнением (6).

В окрестности обыкновенной точки множество мало отличается от -мерной аналитической плоскости

которая называется касательной аналитической плоскостью.

б) Критические точки. Так называются точки аналитического множества в которых

т. е. равны нулю все производные

Пусть — критическая точка без ограничения общности можно считать, что (этого можно добиться линейной заменой переменных). Подготовительная теорема Вейерштрасса позволяет записать уравнение в окрестности а в виде

где функции голоморфны в окрестности точки ибо при точка а была бы, очевидно, обыкновенной.

Уравнение (9) имеет корней

причем функции голоморфны в всюду, кроме точек множества А, в которых это уравнение имеет хотя бы один кратный корень. Множество А называется дискриминантным и, как известно из алгебры, определяется уравнением

где результант многочленов и его производной (по переменному ). Результант выражается при помощи определителя, элементами которого являются коэффициенты многочленов или нули, и поэтому представляет собой функцию, голоморфную в (и не равную тождественно нулю). Следовательно, дискриминантное множество А является аналитическим множеством (комплексной размерности в пространстве

Легко видеть, что дискриминантное множество содержит проекцию в пространство совокупности критических точек множества . В самом деле, в достаточно малой окрестности любой точки множество задается

уравнениями (10), где — голоморфные в этой окрестности функции, поэтому каждая из точек проектирующихся в является правильной точкой

Отсюда следует, что совокупность критических точек образует на множество комплексной размерности не выше т. е. что действительная размерность этого множества по меньшей мере на 2 единицы ниже действительной размерности (которая равна частности, можно показать, что совокупность критических точек множества не разбивает этого множества (так что если неприводимо, то после удаления критических точек оно останется связным).

Таким образом, критических точек на аналитическом множестве сравнительно мало, и основную массу его точек составляют правильные точки. В окрестности правильных точек аналитические множества устроены, как комплексно -мерные плоскости, а в критических точках ветвится несколько таких плоскостей.

Переходя к описанию множеств, которые задаются при помощи нескольких функций, приведем

Определение 4. Пусть дано неприводимое множество

где функции голоморфны в области Будем говорить, что это множество имеет комплексную размерность если у матрицы Якоби

все миноры порядков выше тождественно равны нулю на а хотя бы один минор порядка не равен тождественно нулю.

В случае одного уравнения (с функцией ) мы имеем и получаем рассмотренные выше множества комплексной размерности Как и в этом случае, мы будем различать два типа точек множества (12):

а) Обыкновенные точки. Так мы будем называть точки комплексно -мерного аналитического множества, в которых ранг матрицы (13) равен это определение, очевидно, совпадает с прежним).

Пусть обыкновенная точка и для определенности

(в случае надобности мы можем переименовать переменные). По теореме существования неявных функций в некоторой окрестности точки а мы можем разрешить систему уравнений относительно переменных

причем функции голоморфны в некоторой окрестности точки

Отсюда видно, что в окрестности обыкновенной точки а множество является аналитическим многообразием комплексной размерности за локальный параметр можно принять а за область его изменения — окрестность (отображение определяемое (14), голоморфно и, очевидно, взаимно однозначно).

Из представимости уравнениями (14) видно также, что аналитическое множество локально неприводимо в каждой своей обыкновенной точке.

Отметим еще, что в каждой обыкновенной точке множество имеет комплексно -мерную аналитическую касательную плоскость:

б) Критические точки. Так называются точки комплексно -мерного неприводимого аналитического множества в которых ранг матрицы (13) лиже Как и в случае можно доказать, что критические точки образуют аналитическое множество комплексной размерности не выше следовательно, на множестве их сравнительно мало (в частности, они не могут разбивать .

Используя алгебраические методы, можно доказать следующее естественное обобщение теоремы 1:

Теорема 1. Любое аналитическое в точке множество можно единственным образом представить в виде конечного объединения неприводимых в этой точке множеств.

В некоторых вопросах полезно локализовать понятие аналитического множества. Для этого вводится

Определение 4. Пусть в окрестностях точки заданы два аналитических множества Будем говорить, что они эквивалентны, если существует окрестность такая, что Класс эквивалентности по этому отношению называется ростком аналитического множества в точке а.

Естественным образом определяется понятие объединения ростков, а также неприводимого ростка как ростка, который нельзя представить в виде объединения отличных от него ростков аналитических множеств. Локальной теорией аналитических множеств мы здесь заниматься не будем.

Приведем в заключение теорему, которую можно рассматривать как обобщение теоремы единственности для функций одного переменного.

Теорема 2. Если аналитическое в области множество

дискретно, т. е. не имеет связных компонент, отличных от точки, то оно не может иметь предельных точек внутри

Будем доказывать теорему индукцией по Для она верна, ибо совпадает с теоремой единственности для функций одного переменного. Предположим, что она верна для функций переменного, но неверна для функций переменных. Тогда в найдется множество удовлетворяющее условиям теоремы и имеющее предельную точку а Согласно подготовительной теореме Вейерштрасса (для ее применения, возможно, придется совершить линейное преобразование переменных в некоторой окрестности а множество задается уравнениями

где многочлены от с коэффициентами, голоморфно зависящими от Можно считать, что содержит последовательность точек где все различны.

Рассмотрим результанты многочленов

— голоморфные функции в окрестности проекции а точки а. Так как обращается в нуль в тех и только тех точках где имеют общий нуль а при близких к а, все нули лежат вблизи то в окрестности а множество

совпадает с проекцией на эту окрестность. Это множество удовлетворяет условиям теоремы и имеет а своей предельной точкой. Мы пришли к противоречию с индуктивным предположением