40. Теория Мартинелли.

Для изложения этой теории понадобятся некоторые топологические понятия.

Пусть на ориентируемом многообразии действительной размерности заданы два симплекса дополнительной размерности (это означает, что

Пусть еще эти симплексы трансверсальны, т. е., кроме не имеют других общих точек (рис. 116). Мы скажем, что индекс пересечения этих симплексов в точке равен если ориентация -мерного симплекса совпадает с ориентацией и равен

— 1 в противоположном случае. (На рис. 116, а индекс пересечения симплексов равен а на рис. 116, б равен —1.)

Рис. 116.

Пусть теперь в заданы две цепи дополнительной размерности пересекающиеся друг с другом трансверсально в конечном числе точек, которые мы будем считать общими вершинами симплексов, составляющих эти цепи. В каждой точке пересечения мы умножаем индекс пересечения симплексов, принадлежащих этим цепям, на произведение коэффициентов, с которыми симплексы входят в цепи. Сумму таких произведений по всем точкам пересечения цепей мы назовем индексом пересечения этих цепей и обозначим символом (На рис. 117 индекс пересечения цепей равен

Отметим следующие простые свойства индекса пересечения:

1) ориентируемость:

2) коммутативность (или антикоммутативность):

3) дистрибутивность

Рис. 117.

Отметим еще одно, геометрически очевидное свойство: если обе цепи являются циклами (т. е. их границы равны нулю) и хотя бы одна из них является циклом, гомологичным нулю на границей некоторой цепи, принадлежащей то

Далее, рассмотрим на ориентируемом многообразии два гомологичных нулю цикла (пусть по-прежнему предположим, что они не пересекаются. Существует цепь такая, что и если еще какая-либо цепь с границей то по отмеченным свойствам индекса пересечения

ибо цикл на цикл, гомологичный нулю. Таким образом, в наших условиях индекс пересечения цикла с любой цепью граница которой не зависит от выбора этой цепи и определяется (при заданных лишь циклом Мы назовем этот индекс коэффициентом зацепления циклов и обозначим символом итак, по определению

Рис. 118.

(На рис. 118 коэффициент зацепления двух одномерных гомологичных нулю в циклов равен 2.)

Отметим следующие простые свойства коэффициента зацепления:

1) ориентируемость:

2) коммутативность (или антикоммутативность):

3) дистрибутивность:

Отметим еще одно свойство: если два цикла гомологичные нулю на гомологичны друг другу на

(где - цикл, гомологичный нулю на ), то

Пусть, наконец, на многообразии задан какой-либо комплекс К (см. п. 12). Мы назовем базой -мерных гомологий К систему -мерных циклов такую, что: 1) циклы гомологически независимы, т. е. из того, что некоторая цепь гомологична нулю в К, вытекает равенство нулю всех коэффициентов и 2) любой -мерный цикл с К гомологичен некоторой линейной комбинации циклов

В заключение сформулируем без доказательства При нцип двойственности Александер, Понтрягин). Пусть сфера действительной размерности некоторый полиэдр. Тогда для базы -мерных гомологий

комплекса существует такая база -мерных гомологий

полиэдра К (при этом что для всех

где — символ Кронекера (равный 1 при при Базу (4) мы будем называть двойственной к базе (3). Перейдем к задачам вычисления интегралов. Пусть в области задана мероморфная функция с полярным множеством и требуется вычислить интеграл от формы по некоторому -мерному циклу . Если гомологичен нулю в то по теореме Коши — Пуанкаре

По той же теореме и по свойствам интегралов, если цикл а гомологичен а в , то

Отсюда вытекает, что если известна база -мерных гомологий множества и разложение

по этой базе, то вычисление интеграла от по о сводится к вычислению интегралов по базисным циклам:

По аналогии с одномерным случаем назовем вычетом функции относительно базисного цикла величину

Тогда будет иметь место

Теорема 1 (о вычетах). Если функция мероморфна в области полярное множество этой функции, то для любого -мерного цикла

где коэффициенты разложения базе -мерных гомологий вычеты относительно циклов этой базы.

В пространственном случае, в отличие от плоского, отыскание базы и разложения (6) по этой базе является далеко не простой задачей. Мартинелли заметил, что в ряде случаев задача существенно упрощается, если воспользоваться описанным выше принципом двойственности. Для возможности применения этого принципа предположим, что область гомеоморфна -мерному шару. Отождествим все точки границы в одну точку и дополним этой точкой — мы получим

-мерную сферу Точно так же отождествим все точки пересечения полярного множества функции с границей в одну точку и дополненное этой точкой множество обозначим через Описанный процесс, очевидно, не нарушит базы -мерных гомологий и разложения (6) по этой базе. Иными словами, останется базой -мерных гомологий и (6) — разложением цикла а по ней.

На основании принципа двойственности мы можем вместо базы -мерных гомологий множества искать базу -мерных гомологий самого полярного множества связанную с первой базой соотношениями

Циклы мы будем называть коротко особыми циклами.

Заметим, что коэффициенты разложения цикла о по базе совпадают с коэффициентами зацепления этого цикла с циклами двойственной базы . В самом деле, так как а гомологичен то по отмеченному выше свойству коэффициентов зацепления имеем

а отсюда, пользуясь распределительным законом и соотношениями (10), находим

Это замечание позволяет находить не зная самой базы Интегралы по базисным циклам (вычеты функции также можно вычислять, не находя самих этих циклов. В самом деле, пусть нам удалось найти в какие-либо гомологически независимых -мерных циклов по которым мы можем вычислить интегралы

Пусть еще известны коэффициенты зацепления с этих циклов с циклами двойственной базы По сделанному выше замечанию являются коэффициентами разложения

по базе поэтому по теореме о вычетах для любого

где вычет относительно цикла

Систему (12) можно рассматривать как линейную относительно неизвестных вычетов причем ее определитель пропорционален который отличен от нуля в силу гомологической независимости циклов Поэтому из этой системы вычеты легко находятся.

Учитывая отмеченную выше двойственность, условимся называть интеграл по -мерному циклу деленный на вычетом относительно особого цикла (двойственного -мерного цикла на ). Заметим, что это определение подчеркивает аналогию пространственного случая с плоским, где интеграл по одномерному циклу деленный на называется вычетом относительно особой точки (нульмерного цикла). Теорему о вычетах теперь можно сформулировать так:

Теорема 2. Пусть функция мероморфна в области гомеоморфной -мерному шару, и — полярное множество которое получается добавлением к множества отождествленного в точку. Пусть база -мерных гомологий множества вычет относительно особого цикла Тогда для любого -мерного цикла

где с коэффициент зацепления а с особым циклом Примеры:

1. Если -целая функция комплексных переменных, линейная функция, то для любого -мерного цикла и для любого целого числа

В самом деле, границей области являются бесконечные точки, которые нужно отождествить в одну. Полярное множество после пополнения отождествленными бесконечными точками станет -мерной сферой . При

любой -мерный цикл на гомологичен нулю база тривиальна и, значит, рассматриваемый интеграл равен нулю.

По тем же причинам равен нулю при интеграл

где -целая функция, а полярное множество представляет собой набор параллельных плоскостей. (Здесь «букет» -мерных сфер, касающихся друг друга в отождествленных бесконечных точках.)

2. Рассмотрим интеграл

где а — произвольный двумерный цикл из не пересекающийся с полярным множеством где

Рис. 119.

Пополненное полярное множество состоит из двух двумерных сфер и пересекающихся в двух точках: и отождествленной бесконечности. Нам нужно найти базу одномерных гомологий Очевидно, всякий одномерный цикл, лежащий полностью на одной из сфер, гомологичен нулю. Поэтому не гомологичный нулю цикл должен проходить от точки по одной сфере до и затем возвращаться по другой сфере в ту же точку. Все такие циклы гомологичны несколько раз проходимому циклу который состоит из какого-либо луча идущего из в бесконечность, и какого-либо луча идущего из бесконечности в (см. схематический рис. 119). Пусть, например, проходит через точку через точку тогда параметрические уравнения этих лучей будут иметь вид

У нас следовательно, достаточно вычислить интеграл от по какому-либо одному не гомологичному нулю в

двумерному циклу у. Выберем в качестве у тор где тогда

Так как у нас то при вычислении внутреннего интеграла нужно учитывать лишь вычет в точке значит, этот интеграл равен а весь интеграл равен — (из того, что интеграл отличен от 0, и вытекает, что у не гомологичен нулю).

Найдем коэффициент зацепления с по определению он равен индексу пересечения у с двумерной пленкой натянутой на Параметрическими уравнениями служат

а с тором у эта пленка пересекается лишь в одной точке которая соответствует значениям параметров . В этой точке (мы положили , откуда видно, что индекс пересечения По формуле (12) находим, что вычет относительно особого цикла равен

и тогда по теореме 2 получаем значение искомого интеграла:

где с коэффициент зацепления (двумерного) цикла интегрирования а с особым (одномерным) циклом