Главная > Введение в комплексный анализ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

40. Теория Мартинелли.

Для изложения этой теории понадобятся некоторые топологические понятия.

Пусть на ориентируемом многообразии действительной размерности заданы два симплекса дополнительной размерности (это означает, что

Пусть еще эти симплексы трансверсальны, т. е., кроме не имеют других общих точек (рис. 116). Мы скажем, что индекс пересечения этих симплексов в точке равен если ориентация -мерного симплекса совпадает с ориентацией и равен

— 1 в противоположном случае. (На рис. 116, а индекс пересечения симплексов равен а на рис. 116, б равен —1.)

Рис. 116.

Пусть теперь в заданы две цепи дополнительной размерности пересекающиеся друг с другом трансверсально в конечном числе точек, которые мы будем считать общими вершинами симплексов, составляющих эти цепи. В каждой точке пересечения мы умножаем индекс пересечения симплексов, принадлежащих этим цепям, на произведение коэффициентов, с которыми симплексы входят в цепи. Сумму таких произведений по всем точкам пересечения цепей мы назовем индексом пересечения этих цепей и обозначим символом (На рис. 117 индекс пересечения цепей равен

Отметим следующие простые свойства индекса пересечения:

1) ориентируемость:

2) коммутативность (или антикоммутативность):

3) дистрибутивность

Рис. 117.

Отметим еще одно, геометрически очевидное свойство: если обе цепи являются циклами (т. е. их границы равны нулю) и хотя бы одна из них является циклом, гомологичным нулю на границей некоторой цепи, принадлежащей то

Далее, рассмотрим на ориентируемом многообразии два гомологичных нулю цикла (пусть по-прежнему предположим, что они не пересекаются. Существует цепь такая, что и если еще какая-либо цепь с границей то по отмеченным свойствам индекса пересечения

ибо цикл на цикл, гомологичный нулю. Таким образом, в наших условиях индекс пересечения цикла с любой цепью граница которой не зависит от выбора этой цепи и определяется (при заданных лишь циклом Мы назовем этот индекс коэффициентом зацепления циклов и обозначим символом итак, по определению

Рис. 118.

(На рис. 118 коэффициент зацепления двух одномерных гомологичных нулю в циклов равен 2.)

Отметим следующие простые свойства коэффициента зацепления:

1) ориентируемость:

2) коммутативность (или антикоммутативность):

3) дистрибутивность:

Отметим еще одно свойство: если два цикла гомологичные нулю на гомологичны друг другу на

(где - цикл, гомологичный нулю на ), то

Пусть, наконец, на многообразии задан какой-либо комплекс К (см. п. 12). Мы назовем базой -мерных гомологий К систему -мерных циклов такую, что: 1) циклы гомологически независимы, т. е. из того, что некоторая цепь гомологична нулю в К, вытекает равенство нулю всех коэффициентов и 2) любой -мерный цикл с К гомологичен некоторой линейной комбинации циклов

В заключение сформулируем без доказательства При нцип двойственности Александер, Понтрягин). Пусть сфера действительной размерности некоторый полиэдр. Тогда для базы -мерных гомологий

комплекса существует такая база -мерных гомологий

полиэдра К (при этом что для всех

где — символ Кронекера (равный 1 при при Базу (4) мы будем называть двойственной к базе (3). Перейдем к задачам вычисления интегралов. Пусть в области задана мероморфная функция с полярным множеством и требуется вычислить интеграл от формы по некоторому -мерному циклу . Если гомологичен нулю в то по теореме Коши — Пуанкаре

По той же теореме и по свойствам интегралов, если цикл а гомологичен а в , то

Отсюда вытекает, что если известна база -мерных гомологий множества и разложение

по этой базе, то вычисление интеграла от по о сводится к вычислению интегралов по базисным циклам:

По аналогии с одномерным случаем назовем вычетом функции относительно базисного цикла величину

Тогда будет иметь место

Теорема 1 (о вычетах). Если функция мероморфна в области полярное множество этой функции, то для любого -мерного цикла

где коэффициенты разложения базе -мерных гомологий вычеты относительно циклов этой базы.

В пространственном случае, в отличие от плоского, отыскание базы и разложения (6) по этой базе является далеко не простой задачей. Мартинелли заметил, что в ряде случаев задача существенно упрощается, если воспользоваться описанным выше принципом двойственности. Для возможности применения этого принципа предположим, что область гомеоморфна -мерному шару. Отождествим все точки границы в одну точку и дополним этой точкой — мы получим

-мерную сферу Точно так же отождествим все точки пересечения полярного множества функции с границей в одну точку и дополненное этой точкой множество обозначим через Описанный процесс, очевидно, не нарушит базы -мерных гомологий и разложения (6) по этой базе. Иными словами, останется базой -мерных гомологий и (6) — разложением цикла а по ней.

На основании принципа двойственности мы можем вместо базы -мерных гомологий множества искать базу -мерных гомологий самого полярного множества связанную с первой базой соотношениями

Циклы мы будем называть коротко особыми циклами.

Заметим, что коэффициенты разложения цикла о по базе совпадают с коэффициентами зацепления этого цикла с циклами двойственной базы . В самом деле, так как а гомологичен то по отмеченному выше свойству коэффициентов зацепления имеем

а отсюда, пользуясь распределительным законом и соотношениями (10), находим

Это замечание позволяет находить не зная самой базы Интегралы по базисным циклам (вычеты функции также можно вычислять, не находя самих этих циклов. В самом деле, пусть нам удалось найти в какие-либо гомологически независимых -мерных циклов по которым мы можем вычислить интегралы

Пусть еще известны коэффициенты зацепления с этих циклов с циклами двойственной базы По сделанному выше замечанию являются коэффициентами разложения

по базе поэтому по теореме о вычетах для любого

где вычет относительно цикла

Систему (12) можно рассматривать как линейную относительно неизвестных вычетов причем ее определитель пропорционален который отличен от нуля в силу гомологической независимости циклов Поэтому из этой системы вычеты легко находятся.

Учитывая отмеченную выше двойственность, условимся называть интеграл по -мерному циклу деленный на вычетом относительно особого цикла (двойственного -мерного цикла на ). Заметим, что это определение подчеркивает аналогию пространственного случая с плоским, где интеграл по одномерному циклу деленный на называется вычетом относительно особой точки (нульмерного цикла). Теорему о вычетах теперь можно сформулировать так:

Теорема 2. Пусть функция мероморфна в области гомеоморфной -мерному шару, и — полярное множество которое получается добавлением к множества отождествленного в точку. Пусть база -мерных гомологий множества вычет относительно особого цикла Тогда для любого -мерного цикла

где с коэффициент зацепления а с особым циклом Примеры:

1. Если -целая функция комплексных переменных, линейная функция, то для любого -мерного цикла и для любого целого числа

В самом деле, границей области являются бесконечные точки, которые нужно отождествить в одну. Полярное множество после пополнения отождествленными бесконечными точками станет -мерной сферой . При

любой -мерный цикл на гомологичен нулю база тривиальна и, значит, рассматриваемый интеграл равен нулю.

По тем же причинам равен нулю при интеграл

где -целая функция, а полярное множество представляет собой набор параллельных плоскостей. (Здесь «букет» -мерных сфер, касающихся друг друга в отождествленных бесконечных точках.)

2. Рассмотрим интеграл

где а — произвольный двумерный цикл из не пересекающийся с полярным множеством где

Рис. 119.

Пополненное полярное множество состоит из двух двумерных сфер и пересекающихся в двух точках: и отождествленной бесконечности. Нам нужно найти базу одномерных гомологий Очевидно, всякий одномерный цикл, лежащий полностью на одной из сфер, гомологичен нулю. Поэтому не гомологичный нулю цикл должен проходить от точки по одной сфере до и затем возвращаться по другой сфере в ту же точку. Все такие циклы гомологичны несколько раз проходимому циклу который состоит из какого-либо луча идущего из в бесконечность, и какого-либо луча идущего из бесконечности в (см. схематический рис. 119). Пусть, например, проходит через точку через точку тогда параметрические уравнения этих лучей будут иметь вид

У нас следовательно, достаточно вычислить интеграл от по какому-либо одному не гомологичному нулю в

двумерному циклу у. Выберем в качестве у тор где тогда

Так как у нас то при вычислении внутреннего интеграла нужно учитывать лишь вычет в точке значит, этот интеграл равен а весь интеграл равен — (из того, что интеграл отличен от 0, и вытекает, что у не гомологичен нулю).

Найдем коэффициент зацепления с по определению он равен индексу пересечения у с двумерной пленкой натянутой на Параметрическими уравнениями служат

а с тором у эта пленка пересекается лишь в одной точке которая соответствует значениям параметров . В этой точке (мы положили , откуда видно, что индекс пересечения По формуле (12) находим, что вычет относительно особого цикла равен

и тогда по теореме 2 получаем значение искомого интеграла:

где с коэффициент зацепления (двумерного) цикла интегрирования а с особым (одномерным) циклом

1
Оглавление
email@scask.ru