11. Понятие интеграла от формы.

Дифференциальные формы степени введены так, чтобы от них можно было брать интегралы по -мерным многообразиям. Интегралы берутся по ориентированным многообразиям, поэтому мы должны начать с этого понятия.

Введем сначала ориентацию в окрестности Для этого будем считать, что параметр действующий в меняется не в шаре, как раньше, а в -мерном симплексе (т. е. что задается гомеоморфизм ). Для определенности предположим, что одна из вершин симплекса лежит в начале координат, а другие вершины имеют координату, равную 1, и остальные Введем на ориентацию

следующим образом: симплекс и все, получающиеся из него четной перестановкой номеров вершин, будем считать ориентированными положительно; симплексы, номера вершин которых образуют нечетную перестановку, — ориентированными отрицательно.

Часто неориентированный симплекс мы будем обозначать через ориентированные — через где или — в зависимости от ориентации.

На рис. 88 изображены двумерные симплексы

Рис. 88.

При заданном отображении мы введем две ориентации окрестности в зависимости от той или иной ориентации симплекса ориентированную окрестность будет иногда обозначать через

Пример. Нагляднее всего представляется ориентация в одномерном случае. Пусть гомеоморфный образ скажем в О, т. е. жорданов путь Положительной ориентацией мы будем считать ту, которая соответствует возрастанию параметра т. е. положительной ориентации отрезка [0, 1]; отрицательной которая соответствует убыванию Ориентацию гомеоморфного образа в двумерного симплекса при заданном отображении можно представлять как указание одной из двух сторон положительной считается та, с которой образы вершин симплекса обходятся в порядке (0, 1, 2), и отрицательной — та, с которой они обходятся в порядке (0, 2, I) (см. рис. 88).

Пусть теперь связное гладкое многообразие. Назовем ориентируемым, если все соотношения соседства, его определяющие, имеют положительные якобианы. На каждом ориентируемом многообразии можно ввести две ориентации — положительную и отрицательную. Для этого достаточно ввести ту или иную ориентацию в какой-либо окрестности соотношения соседства позволяют перенести эту ориентацию во все окрестности на а условие ориентируемости обеспечивает, что при этом мы не придем к противоречию: какой бы цепочкой окрестностей, связывающих с некоторой окрестностью ни пользоваться, всегда получим одну и ту же ориентацию То же условие обеспечивает независимость ориентации от выбора

начальной окрестности и. На доказательстве этих утверждении мы не останавливаемся.

Пример. Представим окружность на плоскости как одномерное многообразие, покрываемое четырьмя окрестностями действует локальная координата х, в - координата у, рис. 89). Ориентируем положительно (т. е. условием возрастания параметра и примем, что все соотношения соселсггл имеют положительные якобианы. Тогда на пересечении параметр у должен возрастать вместе с х (соотношение соседства имеет вид и на вводится ориентация снизу вверх. Эта ориентация вводит на ориентацию справа налево (в самом деле, условие положительности якобиана на пересечении влечет за собой, что у должен убывать вместе с Далее, окажется ориентированной сверху вниз и слева направо. Мы снова пришли к исходной ориентации

Рис. 89.

Перейдем к определению интеграла. Начнем с интеграла по одной окрестности многообразия.

Определение 1. Пусть ориентированная окрестность -мерного многообразия параметр, действующий в и меняющийся в симплексе интегралом по окрестности от формы степени назовем

где означает ориентацию симплекса и окрестности относительно координат неориентированный симплекс.

Теорема 1. Определение интеграла инвариантно относительно допустимой замены параметра.

Пусть допустимая (т. е. гомеоморфная и класса замена параметра, преобразующая на и

— ее якобиан (непрерывная функция По правилам замены переменных в (неориентированных) кратных интегралах

В силу гомеоморфности отображения якобиан в не меняет знака. Если , то отображение сохраняет ориентацию, т. е. переводит в а так как форма со в новых координатах имеют вид то по определению 1 в новых координатах

Если же , то отображение меняет ориентацию, т. е. переводит и по тем же соображениям в новых координатах

В силу (2) правые части (3) и (4) совпадают с правой частью (1).

Замечание. Мы вводим дифференциальные формы так, чтобы при замене переменных они менялись, как подинтегральные выражения соответствующих интегралов. Однако имеется некоторое отличие: формы при замене переменных умножаются на якобиан преобразования, а подинтегральные выражения — на модуль якобиана. Сейчас мы убедились, что именно так и надо было вводить формы, если желать, чтобы были инвариантными относительно замены переменных интегралы по ориентированным окрестностям.

Можно было бы рассматривать так называемые нечетные дифференциальные формы, которые (в отличие от введенных выше четных форм) при замене переменных умножаются на модуль якобиана. Точнее, нечетной формой степени на многообразии называется выражение, которое в локальных координатах имеет вид а при замене переменных переходит в такое же выражение с коэффициентами

(ср. с формулами (10) п. 10). Нечетные формы приспособлены для интегрирования по неориентированным многообразиям.

Переход от интеграла по окрестности к интегралу по компактному подмножеству многообразия просто осуществляется при помощи так называемого разбиения единицы. Пусть

многообразие класса его локально конечное покрытие окрестностями; разбиением единицы, соответствующим этому покрытию, называется система функций таких, что

2) носитель т. е. замыкание множества является компактным подмножеством

Доказательство существования разбиения единицы мы приведем для многообразий расположенных в евклидовом пространстве

Лемма. Для любого открытого множества и любого множества существует функция класса такая, что

Сначала рассмотрим частный случай, когда концентрические шары Построим функцию

и возьмем

она принадлежит классу равна 1 на отрезке и 0 на отрезке Поэтому функция обладает нужными свойствами.

В общем случае мы устраиваем конечное (по лемме Хейне — Бореля) покрытие К шарами такими, что для каждого найдется концентрический с ним шар большего радиуса. Для каждой пары строим, как выше, функцию и тогда

- обладает нужными свойствами

Теорема 2. Пусть многообразие класса О. Для любого его локально конечного покрытия открытыми множествами из существует соответствующее этому покрытию разбиение единицы

Каждая точка имеет окрестность, пересекающуюся с конечным числом . В каждой мы выберем компактно принадлежащее ей множество так, чтобы объединение покрывало и для каждой пары строим (по лемме) функцию равную 1 в и 0 вне Далее рассматриваем сумму и замечаем, что она определена в окрестности каждой точки (ибо там лишь конечное число отлично от нуля) и положительна в каждой такой точке (ибо эта точка покрывается хотя бы одним а там остальные же Функции

очевидно, дают разбиение единицы, соответствующее покрытию

Определение 2. Пусть К — компактное подмножество -мерного ориентируемого многообразия интегралом по К от формы степени называется

где разбиение единицы, соответствующее некоторому покрытию (Интеграл по пересечению где действуют локальные координаты определен выше; в силу локальной конечности покрытия сумма в правой части содержит лишь конечное число отличных от нуля слагаемых.)

Чтобы убедиться в корректности этого определения, нужно доказать его независимость от выбора покрытия и разбиения единицы.

Теорема 3. Пусть два (локально конечных) покрытия ориентируемого многообразия и — соответствующие им разбиения единицы. Для любого и формы интегралы от по К, вычисленные по этим разбиениям, совпадают.

Интеграл, вычисленный по разбиению

в силу тождества можно переписать так:

В пересечении введем новые локальные координаты, соответствующие окрестности в силу инвариантности интеграла и тождества будем иметь

Мы получили интеграл, вычисленный по разбиению

Если некомпактное многообразие и его некомпактное подмножество (в частности, , то надо построить исчерпывание компактными множествами Интеграл по тогда определяется как предел при интегралов по компактным множествам если этот предел существует и не зависит от исчерпывания (несобственный интеграл).

Примеры. 1. Пусть — гладкий путь функция, голоморфная на множестве у (т. е. голоморфная в каждой точке рассмотрим на у дифференциальную форму 1-й степени Если отображение гомеоморфно, то у можно рассматривать как окрестность, как локальный параметр, действующий в ней. По определению 1

(мы считаем у положительно ориентированным). Так как функция голоморфна (т. е. ), то подинтегральная функция справа является производной функции и по формуле Ньютона-Лейбница (для функций действительного переменного) мы получаем

где - концы пути. В общем случае отображение локально гомеоморфно (в силу условия принятого нами для гладких путей); разбивая [0, 1] на конечное число отрезков, мы придем к тому же соотношению (8).

2. Пусть односвязные плоские области с гладкими границами поликруговая область в Остов этой области можно рассматривать как гладкое -мерное многообразие. Оно является гладким образом куба при отображении ориентацию на следовательно, на мы введем условием возрастания всех координат Параметр меняющийся в можно использовать при вычислении интегралов по как в определении 1, хотя и не является гомеоморфным образом (это доказывается разбиением единицы). Пусть форма бистепени , т. е. имеющая вид где непрерывная на функция. После введения параметра форма принимает вид

поэтому, согласно сказанному выше,

Таким образом, интеграл от совпадает с повторным интегралом. Точно так же повторный интеграл Коши, введенный в предыдущей главе, можно рассматривать как интеграл по -мерному многообразию:

где мы для краткости обозначили