20. Свойства голоморфных функций.

Отметим несколько следствий теоремы о голоморфности суммы степенного ряда.

Теорема 1. Производная функции голоморфна в области

Для любой точки построим круг принадлежащий По теореме функция в этом круге представляется как сумма степенного ряда. По теореме производная представляется рядом, сходящимся в том же круге. Поэтому к можно снова применить теорему 5, и, значит, дифференцируема в У в смысле комплексного анализа

Из этой теоремы непосредственно вытекает необходимое условие существования первообразной, о котором говорилось в

Следствие. Если функция имеет в области первообразную то голоморфна в (В иных терминах: всякая точная в области дифференциальная форма является замкнутой в

Повторным применением теоремы 1 получается

Теорема 1. Любая функция имеет в производные всех порядков, также принадлежащие (бесконечно дифференцируема).

Следующая теорема утверждает единственность разложения функции в степенной ряд с данным центром.

Теорема 2. Если функция в круге представима как сумма степенного ряда

то коэффициенты этого ряда определяются однозначно по формулам

Подставляя в (1) , найдем Дифференцируя ряд (1) почленно:

и затем подставляя найдем Продифференцируем n раз:

(мы не выписываем выражений для коэффициентов), и снова подставим получим

Теорему 2 иногда формулируют так: всякий сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

Формула (2) позволяет писать тейлоровские разложения элементарных функций. Например, мы имеем

все три разложения справедливы всюду в С (их радиус сходимости

Сравнивая только что найденные значения с первоначальными их значениями, вычисленными по формуле (3) п. 19, получим выражения для производных голоморфных функций:

Если голоморфна в области и область, ограниченная конечным числом непрерывных кривых и такая, что то, пользуясь неизменностью интеграла при гомотопной деформации контура, мы можем заменить в последней формуле ориентированной границей Получим интегральные формулы для производных голоморфных функций:

(мы пишем 2 вместо и предполагаем, что

Это формулы получаются из интегральной формулы Коши

дифференцированием по параметру под знаком интеграла. Наше косвенное рассуждение позволяет избежать доказательства законности такого дифференцирования.

Теорема 3 (Морера). Если функция непрерывна в области и интеграл от нее по границе любого треугольника равен нулю, то

Для любой точки построим круг По теореме функция

голоморфна в в каждой точке По теореме 1 отсюда следует, что и голоморфна в Тем самым доказана голоморфность в каждой точке

Замечание. Теорема Мореры является обратной к основной лемме интегрального исчисления по которой интеграл от голоморфной в области функции по границе любого треугольника равен нулю. Эту теорему можно рассматривать также как обратную к теореме Коши (она сильнее последней, в которой требуется, чтобы равнялся нулю интеграл от по любому замкнутому пути а не только по границам треугольников Однако в теореме Мореры вводится дополнительное условие непрерывности функции Это условие существенно: например, для функции, равной 0 всюду в С, кроме одной точки, где она равна 1, интеграл по границе любого треугольника равен нулю, однако эта функция не голоморфна, ибо она даже не непрерывна.

В заключение приведем сводку результатов об эквивалентности различных определений голоморфности функции в точке: Теорема 4. Эквивалентны следующие три утверждения:

(R) функция в некоторой окрестности V точки а имеет производную в смысле комплексного анализа,

(С) функция непрерывна в некоторой окрестности точки а, и интеграл от нее по границе любого треугольника равен нулю;

(W) функция разлагается в степенной ряд, сходящийся в некоторой окрестности точки а.

Эти три утверждения отражают три концепции в построении теории голоморфных функций. Обычно функцию, удовлетворяющую условию называют голоморфной в смысле Римана, условию голоморфной в смысле Коши и условию голоморфной в смысле Вейерштрасса.

Импликация доказана в теореме Коши в теореме Мореры, в теореме Тейлора, в теореме о голоморфности суммы степенного ряда. И, наконец, сделаем еще одно

Замечание. Мы убедились в том, что представимость функции в круге в виде суммы сходящегося степенного ряда является необходимым и достаточным условием ее голоморфности в этом круге. Однако сходимость степенного

ряда в точках границы круга сходимости не связана с голоморфностью суммы ряда в этих точках. В этом можно убедиться на простых примерах.

В самом деле, напишем разложение в геометрическую прогрессию

сходящееся в круге Во всех точках окружности ряд (6) расходится, ибо его общий член не стремится к 0. Однако сумма этого ряда голоморфна во всех точках окружности, кроме . С другой стороны, ряд

сходится во всех точках окружности круга сходимости ибо он мажорируется сходящимся числовым рядом Однако его сумма не может быть голоморфной в точке так как производная при стремлении к 1 по действительной оси неограниченно возрастает.