§ 12. Применения

Основное содержание этого параграфа составляет исследование разрешимости проблем Кузена методами теории пучков. Приведем их формулировки в пучковых терминах для произвольного открытого покрытия не комплексно аналитического многообразия При этом мы будем пользоваться обозначениями предыдущего параграфа.

Первая (аддитивная) проблема. В каждом задана мероморфная функция так, что во всех пересечениях выполняется условие согласованности Требуется найти функцию так, чтобы для всех

Вторая (мультипликативная) проблема. В каждом задана (не равная тождественно нулю) мероморфная функция так, что во всех пересечениях выполняется условие согласованности Требуется найти функцию так, чтобы для всех

Центральным пунктом решения этих проблем является установление связи между локально заданными сечениями пучка в и глобальным сечением этого пучка над всем многообразием. Методы теории пучков хорошо приспособлены для выяснения такой связи.

Важной особенностью этих методов является также то, что они позволяют четко разделить топологическую и аналитическую части проблемы. В рассматриваемых нами приложениях топологическая часть проблемы решается теоремой о точных последовательностях — теоремой I из предыдущего пункта. Следуя Хёрмандеру, мы используем для преодоления аналитических трудностей теорему существования решений неоднородных систем Коши — Римана.

37. Решение первой проблемы Кузена.

Мы воспользуемся той же схемой, которая применялась в п. 32 для решения этой проблемы в случае поликругов. Именно, разрешимость мы выведем из тривиальности группы когомологий с коэффициентами в пучке ростков голоморфных функций, а тривиальность этой группы установим в два этапа: сначала докажем тривиальность такой же группы дифференциальных форм, а затем — изоморфность обеих групп.

Все необходимое для первого этапа доказательства содержится в следующей теореме Хёрмандера:

Теорема II. Пусть произвольная область голоморфности. Тогда для любой дифференциальной формы бистепени для которой существует форма бистепени такая, что

Иными словами, в области голоморфности всякая замкнутая (относительно д) форма точна.

Под областью голоморфности здесь, как и всюду в этом параграфе, понимается произвольная область голоморфности над пространством или, если угодно, произвольное многообразие Штейна (см. п. 29). В п. 32 эта теорема была Доказана для случая, когда и является произведением односвязных плоских областей. В общем случае доказательство будет изложено в п. 39.

Так как группа когомологий с коэффициентами в пучке для покрытия по определению 2 п. 35 является факторгруппой группы форм, замкнутых в пересечениях множеств покрытия, по подгруппе точных форм, то справедливо

Следствие 1. Пусть покрытие области на комплексном многообразии, все множества которого также являются областями голоморфности. Тогда группа когомологий для этого покрытия с коэффициентами в пучке — ростков дифференциальных форм бистепени тривиальна для всех и всех

(Мы воспользовались еще тем, что пересечение областей голоморфности является такой же областью.) Если мы учтем, что любую область можно покрыть сколь угодно мелкими областями голоморфности, то по замечанию в конце п. 35 получим Следствие 2. Для любой области группы когомологий с коэффициентами в пучке ростков дифференциальных форм тривиальны для всех целых

В основе второго этапа доказательства лежит Теорема 1 (Дольбо). Для любой области на комплексном многообразии и любого целого группа когомологий порядка с коэффициентами в пучке ростков голоморфных функций изоморфна факторгруппе группы всех

форм бистепени из класса замкнутых в относительно оператора по подгруппе точных форм:

Обозначим через подпучок состоящий из ростков замкнутых (относительно ) форм. Последовательность пучков

где — тривиальный пучок, вложение, точна. В самом деле, так как переводит замкнутые формы в ибо по следствию 2 ростки замкнутых и точных форм совпадают.

По теореме о точных последовательностях точна и последовательность соответствующих групп когомологий

Но нулевые когомологии пучка совпадают с его глобальными сечениями, поэтому по следствию 2 имеем Таким образом, мы заключаем из (5), что точна последовательность

Отсюда следует изоморфизм

(см. пример 3 на стр. 458; мы воспользовались еще тем, что оператор переводит -формы в точные -формы и, значит, образ совпадает с

Теперь рассмотрим отрезок (5) между и снова воспользуемся тем, что при эти группы тривиальны:

Из точности этой последовательности вытекает изоморфизм

(см. пример 1 на той же стр.). Применяя (7) несколько раз, найдем

Остается учесть, что замкнутые относительно формы бистепени совпадают с голоморфными функциями, так что и воспользоваться изоморфизмом (6)

Замечание 1. Если в покрытии все элементы являются областями голоморфности, то из теоремы II вытекает точность последовательности (5), но уже взятой для когомологий покрытия (подробнее см. Хёрмандер]), стр. 237). Повторяя дословно доказательство, мы получаем, что

откуда следует, что для таких покрытий (сама D может и не быть областью голоморфности).

Замечание 2. Все рассуждения в доказательстве теоремы Дольбо проходят совершенно аналогично и в том случае, когда вместо рассматривается оператор дифференцирования по всем переменным Так как в этом случае пучок 2° форм нулевой степени, для которых совпадает с пучком постоянных С (или если рассматриваются формы с действительными коэффициентами), то справедлива следующая

Теорема (де Рам). Для любого многообразия класса и любого целого группа когомологий изоморфна факторгруппе группы замкнутых на относительно оператора форм степени по подгруппе точных форм:

Из теоремы Дольбо и теоремы II вытекает важное

Следствие. Для любой области голоморфности

Теперь нетрудно доказать и основную теорему этого пункта:

Теорема 2 (А. Картан). В произвольной области голоморфности любая первая проблема Кузена разрешима.

Последовательность пучков аддитивных групп

где естественный гомоморфизм, который ставит в соответствие каждому ростку класс эквивалентности, его

содержащий, точна (см. пример 2 на стр. 458). По теореме 1 точна и последовательность

Но согласно следствию теоремы Дольбо, поэтому

является гомоморфизмом на (мы опять воспользовались тем, что нулевые когомологии совпадают с глобальными сечениями).

При заданном покрытии области данные Кузена определяют элемент из По только что доказанному существует элемент для которого совпадает с элементом, определяемым , а это означает, что в каждой окрестности

Оказывается, что в класс областей, для которых разрешима первая проблема Кузена, и исчерпывается областями голоморфности: справедлива

Теорема 3 (А. Картан). Если в (однолистной) области разрешима любая первая проблема Кузена, то является областью голоморфности.

Если не является областью голоморфности, то найдется шар В с центром в граничной точке в который аналитически продолжаются все функции Возьмем какую-либо точку и на отрезке выберем точку ближайшую к Без ограничения общности можно считать, что и что плоскость содержит отрезок Пользуясь тем, что в разрешима проблема Кузена, мы сейчас построим функцию не продолжаемую аналитически в шар В, и тем самым придем к противоречию.

Построение функции делается, как в примере из Выберем какую-либо функцию с особенностью в точке и зададим в указанных там окрестностях точек главные части следующим образом:

Эти данные Кузена, очевидно, согласованы. Пусть -мероморфная в функция, решающая поставленную проблему Кузена. Тогда функция голоморфна в Отсюда видно, что имеет особенность в точке значит, не продолжаема аналитически в шар

На пространства теорема не распространяется.

Пример. Рассмотрим область которая получается из единичного поликруга после удаления множества иными словами, поликруг, у которого грань продавлена внутрь, как на рис. 114. Покроем тремя областями голоморфности:

и рассмотрим соответствующий голоморфный коцикл Разложим в ряд Лорана в области Так как это разложение сходится в то мы получаем, что главные части разложений совпадают соответственно с главными частями разложений этих функций в ряды Лорана по и по 2,. Таким образом, из равенства

мы получаем, что главная часть ряда Лорана функции распадается на две части, одна из которых голоморфна по и потому продолжается в другая голоморфна по и продолжается в Но из равенства (13) следует тогда, что главные части разложений Лорана для функций соответственно продолжаются в и Аналогично получаем, что и правильные части этих функций продолжаются в соответствующие области. Обозначим через продолжение через продолжение в и положим Тогда

и потому является кограницей коцепи т. е. первая проблема Кузена для покрытия (12) всегда разрешима, откуда следует, что для этого покрытия. Согласно замечанию 1 после теоремы Дольбо, из этого следует, что т. е. любая первая проблема Кузена в области разрешима. Остается заметить, что сама не является областью

Рис. 114.

голоморфности, так как она является не логарифмически выпуклой областью Рейнхарта.