§ 9. Оболочки голоморфности

Если не является областью голоморфности, то любая функция голоморфно продолжается в более широкую область. Возникает вопрос об отыскании так называемой оболочки голоморфности области наименьшей области, в которую продолжаются все функции из Этот вопрос важен как с принципиальной точки зрения, так и с точки зрения приложений в квантовой физике.

27. Однолистные оболочки голоморфности.

В п. 20 мы привели пример области из которой каждая голоморфная функция продолжается в более широкую область, причем некоторые функции при продолжении оказываются многозначными. Желая избежать рассмотрения многозначных функций, мы приходим к необходимости рассматривать многолистные области, аналогичные римановым поверхностям аналитических функций одного переменного.

В частности, и оболочки голоморфности могут оказаться такими многолистными областями (как в упомянутом примере). Мы рассмотрим понятие многолистных областей в следующих пунктах, а здесь лишь сформулируем определение оболочки голоморфности так, чтобы оно охватывало и многолистный случай.

Определение. Область (однолистная или нет) называется оболочкой голоморфности области если: 1) D содержит любая функция продолжается до функции, голоморфной в и 3) для любой точки существует функция сужение которой на поликруг где не продолжается голоморфно ни в какой поликруг где

Замечание. Хотя определение сформулировано про запас и для случая многолистных областей, в многолистном случае оно нуждается в пояснениях (например, понятий Эти пояснения будут даны в следующих пунктах; здесь же читатель может понимать под однолистную область.

В этом пункте мы рассмотрим основные свойства оболочек голоморфности в предположении их однолистности, а также вопросы построения оболочек для областей простейших классов.

Прежде всего отметим, что оболочки голоморфности являются голоморфными расширениями областей в смысле п. 20. Поэтому по теореме 2 п. 20 любая функция, голоморфная в области принимает в оболочке этой области лишь те значения, которые она принимает в й. В частности, оболочка голоморфности ограниченной области всегда является ограниченной областью (это утверждение получается из предыдущего, если применить его к координатам

Далее, условие максимальности 3) в определении оболочки голоморфности можно существенно усилить. Это условие является условием локальной непродолжаемости некоторой функции из но можно утверждать, что в существует и глобально непродолжаемая функция. Иными словами, имеет место

Теорема 1. Если оболочка голоморфности области однолистна, то она является областью голоморфности.

На основании результатов достаточно доказать, что голоморфно выпукла. Пусть по теореме об одновременном продолжении любая функция голоморфно продолжается в поликруг с центром в любой точке Из условия 3) в определении оболочки голоморфности отсюда следует, что значит, Но так как это расстояние не может быть больше то

голоморфно выпукла

Следствие. Если область имеет однолистную оболочку голоморфности то последняя является наименьшей областью голоморфности, содержащей (т. е. пересечением всех областей голоморфности, содержащих

Если область голоморфности, содержащая то (так как , то любая голоморфно продолжается в Но по теореме 1 — область голоморфности, следовательно, наименьшая область голоморфности, содержащая

Замечание. На первый взгляд может показаться, что подобно теореме 1 из локальной нерасширяемости области выводится ее глобальная нерасширяемость, т. е. импликация в теореме 4 предыдущего пункта. Однако в условии (II) рассматриваются функции, голоморфные не во всей области, а лишь в окрестности граничной точки, и поэтому доказательство теоремы 1 здесь не проходит. Как мы уже говорили, импликация (II) составляет содержание весьма тонкой теоремы Ока, которая будет доказана в гл. IV.

Для доказательства следующей теоремы нам нужна

Лемма. Если область голоморфности, то любая связная компонента А ее -сжатия также является областью голоморфности.

Пусть для любых точек на отрезке найдется точка такая, что

(рис. 109). Поэтому а так как область голоморфности, то по теореме и

Нам нужно доказать, что что для любых точек Но так как то следовательно и согласно нас ибо . Отсюда и следует, что

Рис. 109.

Теорема 2. Если и эти области имеют однолистные оболочки и соответственно то

Так как то любая функция голоморфно продолжается в следовательно, Пусть (для теорема тривиальна), тогда Очевидно, принадлежит некоторой связной компоненте множества которая по доказанной лемме является областью голоморфности. Но тогда и принадлежит этой компоненте, а значит, и множеству поэтому

Следствие. Если ограниченная область, имеющая однолистную оболочку то пересечение непусто.

Применим к областям теорему 2:

(мы воспользовались тем, что оболочка области голоморфности совпадает с этой областью). Так как компакт (ибо ограничена), то из равенства следует, что множества пересекаются

Перейдем к описанию оболочек голоморфности областей простейших классов.

1. Трубчатые области. Напомним, что трубчатой областью с основанием называется область т. е. (см. п. 2).

Теорема 3. Оболочкой голоморфности трубчатой области является ее выпуклая оболочка

Очевидно, где В — выпуклая оболочка основания В в пространстве Покажем, что любая функция голоморфно продолжается в Область В представляет собой совокупность точек отрезков где

Если можно соединить в В двузвенной ломаной то продолжаемость в окрестность множества следует непосредственно из леммы о призме

В общем случае точки можно соединить в В конечнозвенной ломаной (рис. 110). При помощи той же леммы индукцией по числу звеньев мы снова докажем, что голоморфно продолжается в окрестность множества Та же лемма показывает, что функция при описанном продолжении остается однозначной. В самом деле, пусть точка пересечения двух отрезков с концами в В и в окрестности точки мы получили два значения

Рассмотрим призму функции по цитированной лемме голоморфны в ней, а так как они совпадают в окрестности точек то по теореме единственности они совпадают во всей призме.

Рис. 110.

Таким образом, любая функций голоморфно продолжается в Но выпуклая область и поэтому является областью голоморфности Следовательно, служит оболочкой области

2. Области Рейнхарта. В п. 7 мы доказали, что любая функция голоморфная в полной области Рейнхарта с центром в точке а, голоморфно продолжается в логарифмически выпуклую оболочку этой области. Такое продолжений осуществляется при помощи разложения в ряд Тейлора

область сходимости которого всегда представляет собой логарифмически выпуклую область (теорема .

Докажем, что является областью голоморфности. Это вытекает из следующего более общего результата. Назовем областью сходимости последовательности функций если эта последовательность равномерно сходится внутри (т. е. на каждом компактном подмножестве и сужения на поликруг с центром в произвольной точке и радиусом нельзя продолжить до функций

голоморфных в поликруге где так, чтобы последовательность равномерно сходилась внутри Область называется областью сходимости, если существует последовательность голоморфных в ней функций, для которой она является областью сходимости.

Теорема 4. Область тогда и только тогда является областью голоморфности, когда она является областью сходимости.

Необходимость условия тривиальна: если область голоморфности, то она является областью сходимости последовательности где функция, областью голоморфности которой является.

Достаточность. Возьмем и обозначим все будет доказано, если мы покажем, что т. е. что для любой точки

Пусть связная компонента пересечения содержащая сужения по теореме об одновременном продолжении можно продолжить до функций голоморфных в поликруге Покажем, что последовательность равномерно сходится внутри Для этого возьмем любое число и заметим, что по теореме для любых натуральных имеем

Так как является областью сходимости и -раздутие то последовательность сходится равномерно на По критерию Коши отсюда можно заключить, что она равномерно сходится и на т. е. внутри

Но по определению области сходимости из этого следует, что т. е. что

Теперь совсем просто выяснить вопрос об оболочках областей Рейнхарта.

Теорема 5. Оболочкой голоморфности полной области Рейнхарта является ее логарифмически выпуклая оболочка

Мы видели, что каждая функция голоморфно продолжается в область сходимости своего ряда Тейлора, которая по теореме 4 является областью голоморфности. Следовательно, все функции класса продолжаются в пересечение всех областей являющееся

логарифмически выпуклой оболочкой области и в то же время (по теореме 1 п. 22) - областью голоморфности. Таким образом, является оболочкой голоморфности области

Следствие. Любая логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта является областью сходимости некоторого степенного ряда.

Такая область по только что доказанному является областью голоморфности, и, следовательно, существует функция не продолжаемая за пределы Тейлоровское разложение имеет своей областью сходимости

Замечание. Если мы будем рассматривать вместо тейлоровских разложений разложения Лорана, то получим более общий результат: оболочкой голоморфности любой относительно полной области Рейнхарта (см. п. 8) является ее логарифмически выпуклая оболочка.

3. Области Хартогса. Для простоты письмд ограничимся областями с плоскостью симметрии это не уменьшает общности.

Теорема 6. Оболочкой голоморфности полной области Хартогса проекцией которой служит область голоморфности в пространстве является область Хартогса

где наилучшая плюрисупергармоническая мажоранта функции в области

Область вида (5), где V строго плюрисупергармоническая в функция, голоморфно не расширяема в каждой своей граничной точке. В самом деле, пусть голоморфная функция, для которой является областью голоморфности. Эта как функция в очевидно, не продолжается голоморфно в точку . Если же то в окрестности область задается неравенством Так как строго плюрисубгармонична в точке (это проверяется непосредственными выкладками), то по теореме Леви-Кшоски область голоморфно не расширяется в точке . Отсюда по теореме Ока (которая будет доказана в гл. IV) мы заключаем, что область голоморфности.

Из теоремы об аппроксимации плюрисубгармонических функций мы получаем, что оболочка голоморфности

области содержится в пересечении всех где — произвольная плюрисупергармоническая мажоранта функции . С другой стороны, в было доказано, что любая функция представляется в своим рядом Хартогса

и, следовательно, голоморфно продолжается в область сходимости этого ряда По теореме функция плюрисупергармонична в т. е. является областью вида (5), где — некоторая плюрисупергармоническая мажоранта функции

Так как пересечение всех где а это пересечение содержит то теорема доказана

Замечание. Если рассматривать разложения Хартогса — Лорана, то можно получить более общий результат: оболочкой голоморфности области проекцией которой служит область голоморфности в пространстве является область вида

где наилучшая плюрисубгармоническая миноранта функции — наилучшая плюрисупергармоническая мажоранта

В теореме 6 (и ее обобщении) существенно, что проекция области является областью голоморфности, — иначе области (5) и (7) будут не оболочками, а лишь голоморфными расширениями Заметим, что и не всякая область Хартогса имеет однолистную оболочку. Чтобы в этом убедиться, достаточно взять в область Хартогса, проекцией которой в является область из примера в с неоднолистной оболочкой.