Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
22. Теорема ВейерштрассаТеорема Вейерштрасса касается дифференцирования рядов из голоморфных функций. Как известно, в действительном анализе почленное дифференцирование рядов требует сходимости ряда в какой-либо точке и равномерной сходимости ряда из производных. В комплексном анализе ситуация упрощается. Имеет место Теорема 1 (Вейерштрасс). Если ряд
из функций, голоморфных в некоторой области 1) сумма этого ряда 2) ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке Пусть а — произвольная точка любого треугольника
Но так как Для доказательства 2) опять возьмем произвольную точку
В силу равномерной сходимости на
(он отличается от (1) множителем, модуль которого равен
Утверждение 2) доказано В анализе особую роль играют ряды, составленные из полиномов. По теореме Вейерштрасса можно утверждать, что если ряд из полиномов
сходится равномерно на каждом компактном подмножестве некоторой области Для практики важна обратная задача о приближении произвольной функции, голоморфной в области Пусть задана область
Эта задача равносильна задаче построения ряда из полиномов
Рис. 37. Лемма. Для любой области
причем все В качестве
где Замечание. Фиксируем точку
причем все Так как функция
то границы областей Наконец, заметим, что если область Вернемся к прерванному рассуждению. Пользуясь леммой, нетрудно доказать, что если для области
Тогда ряд
будет искомым. В самом деле, его Если область
Действительно, мы знаем, что Однако степенные ряды сходятся лишь в кругах, поэтому полиномы Тейлора непригодны для приближения функций в областях более общего вида. Вопрос о приближении функций в односвязных областях решает Теорема 2 (Рунге). Пусть функция подмножество
Построим односвязную область
Докажем сначала, это
Имеем, очевидно,
Так как функция
для всех и всех
где Остается показать, что любую функцию вида (13) можно приблизить равномерно на К полиномами. Для этого достаточно доказать, что на К равномерно приближается полиномами любая функция
совпадает с Множество
имеем
причем ряд сходится равномерно на К, а так как Таким образом, Замечание. По существу тем же методом доказывается, что любую функцию (Вторая часть доказательства не меняется вовсе; в первой части нужно построить открытое множество С другой стороны, для многосвязных областей задача о приближении голоморфных функций полиномами, вообще говоря, неразрешима. Причину этого мы выясним позже (см. п. 35).
|
1 |
Оглавление
|