22. Теорема Вейерштрасса

Теорема Вейерштрасса касается дифференцирования рядов из голоморфных функций. Как известно, в действительном анализе почленное дифференцирование рядов требует сходимости ряда в какой-либо точке и равномерной сходимости ряда из производных. В комплексном анализе ситуация упрощается. Имеет место

Теорема 1 (Вейерштрасс). Если ряд

из функций, голоморфных в некоторой области сходится равномерно на любом компактном подмножестве этой области, то

1) сумма этого ряда голоморфна в

2) ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке любое число раз.

Пусть а — произвольная точка построим круг Так как ряд (1) по условию сходится на равномерно, а его члены непрерывны в то его сумма непрерывна в Обозначим через у ориентированную границу

любого треугольника Так как ряд (1) сходится на у равномерно, мы можем проинтегрировать его почленно вдоль у:

Но так как голоморфны в то по теореме Коши все интегралы в правой части равны нулю. Следовательно, равен нулю и интеграл от по у. Мы можем применить теорему Мореры, по которой голоморфна в Утверждение 1) доказано.

Для доказательства 2) опять возьмем произвольную точку построим круг и обозначим через окружность По формуле Коши для производных имеем

В силу равномерной сходимости на ряда

(он отличается от (1) множителем, модуль которого равен для всех ) Мы можем подставить (3) в интеграл (2). Применяя формулы (2) к функциям найдем

Утверждение 2) доказано

В анализе особую роль играют ряды, составленные из полиномов. По теореме Вейерштрасса можно утверждать, что если ряд из полиномов

сходится равномерно на каждом компактном подмножестве некоторой области то его сумма голоморфна в

Для практики важна обратная задача о приближении произвольной функции, голоморфной в области последовательностью полиномов, причем обычно требуется, чтобы такое приближение было равномерным на каждом компактном подмножестве Приведем точную постановку задачи о равномерном приближении полиномами.

Пусть задана область и функция Требуется для любого множества и любого построить такой полином чтобы

Эта задача равносильна задаче построения ряда из полиномов который сходится к равномерно на каждом компактном подмножестве области . В самом деле, если такой ряд построен, то его частичные суммы с достаточно большими номерами, очевидно, удовлетворяют условиям задачи. Для доказательства обратного утверждения воспользуемся леммой о компактном исчерпывании:

Рис. 37.

Лемма. Для любой области можно построить компактное исчерпывание, т. е. последовательность таких замкнутых (в топологии С) множеств что

причем все и каждая точка принадлежит всем начиная с некоторого

В качестве можно взять множества

где расстояние от точки до границы области и (рис. 37)

Замечание. Фиксируем точку и обозначим через связную компоненту открытого ядра содержащую (начиная с некоторого все они непусты). Тогда мы получим компактное исчерпывание областями

причем все

Так как функция удовлетворяет условию Липшица, т. е. для всех имеем

то границы областей состоят из конечного числа спрямляемых кривых. Более того, покрывая конечным числом кругов достаточно малого радиуса, мы можем построить последовательность областей с кусочно гладкими границами, также компактно исчерпывающую

Наконец, заметим, что если область односвязна, то и области ее компактного исчерпывания можно считать односвязными.

Вернемся к прерванному рассуждению. Пользуясь леммой, нетрудно доказать, что если для области задача о равномерном приближении полиномами разрешима, то в ней любую функцию можно представить рядом из полиномов, равномерно сходящимся на каждом В самом деле, построим компактное исчерпывание как в лемме, и построим последовательность полиномов таких, что

Тогда ряд

будет искомым. В самом деле, его частичная сумма равна и поэтому в силу (8) он сходится к равномерно на каждом (каждое принадлежит всем начиная с некоторого номера, и, следовательно, для любого если достаточно велико).

Если область представляет собой круг то поставленную задачу решают полиномы Тейлора функции с центром в точке а:

Действительно, мы знаем, что представляется в рядом Тейлора, причем этот ряд сходится равномерно на компактных подмножествах

Однако степенные ряды сходятся лишь в кругах, поэтому полиномы Тейлора непригодны для приближения функций в областях более общего вида. Вопрос о приближении функций в односвязных областях решает

Теорема 2 (Рунге). Пусть функция голоморфна в односвязной области - произвольное компактное

подмножество Тогда для любого найдется полином такой, что

Построим односвязную область с кусочно гладкой границей такую, что (см. замечание после леммы). Для любой точки по интегральной формуле Коши имеем

Докажем сначала, это можно приблизить на К рациональными функциями. Для этого разобьем у на участки точками взятыми в порядке обхода у, обозначим через участок у между положим мы считаем и рассмотрим рациональную функцию

Имеем, очевидно,

Так как функция двух комплексных переменных непрерывна на компактном множестве четырехмерного пространства то она равномерно непрерывна на нем. Поэтому для любого можно выбрать столь мелкими, что

для всех и всех Подставляя эту оценку в (14), найдем

где длина у. Возможность приближения рациональными функциями вида (13) доказана.

Остается показать, что любую функцию вида (13) можно приблизить равномерно на К полиномами. Для этого достаточно доказать, что на К равномерно приближается

полиномами любая функция где произвольная точка. Докажем большее: пусть область такая, что и дополнение связно; тогда множество

совпадает с

Множество непусто, ибо оно содержит внешность круга в котором лежит К. В самом деле, для любого а, функция голоморфна в следовательно, равномерно приближается в этом круге (а значит, и на К) своими полиномами Тейлора с центром Множество замкнуто (в топологии Д), ибо если последовательность точек сходится к некоторой точке то и последовательность функций в равномерно на К сходится к (при последнюю надо заменить тождественным нулем), а так как все равномерно на К приближаются полиномами, то также. Но в то же время и открыто: пусть и а — любая точка из круга

имеем

причем ряд сходится равномерно на К, а так как и, значит, приближаются на К полиномами, то частные суммы этого ряда — тоже, т. е.

Таким образом, является непустым и одновременно замкнутым и открытым подмножеством связного множества по теореме

Замечание. По существу тем же методом доказывается, что любую функцию голоморфную на открытом (не обязательно связном) множестве со связным дополнением, можно приблизить полиномами равномерно на каждом

(Вторая часть доказательства не меняется вовсе; в первой части нужно построить открытое множество с границей состоящей из конечного числа кусочно гладких кривых, и заметить, что формула (12) распространяется на этот случай.)

С другой стороны, для многосвязных областей задача о приближении голоморфных функций полиномами, вообще говоря, неразрешима. Причину этого мы выясним позже (см. п. 35).