47. Теорема о вложенном ребре.

В заключение мы приведем вариант теоремы об аналитичности множества особых точек, который основан на следующей полезной и в других приложениях теореме о вложенном ребре:

Теорема 1 (Кнезер). Пусть две гиперповерхности класса пересекаются по -мерному ребру так, что во всех точках

имеют вдоль различные касательные плоскости). Тогда, если существует функция голоморфная в тех точках окрестности где но не продолжаемая голоморфно ни в одну точку то аналитическая поверхность.

а) Предположим сначала, что в какой-либо точке

и примем Рассмотрим аналитическую поверхность

где — параметр. Если для краткости обозначить то по формуле Тейлора будем иметь

где, как и в п. 25,

и все производные берутся в точке По условию (2) векторы и не коллинеарны, следовательно, можно выбрать векторы а и так, чтобы было

Тогда формулы (3) примут вид

(мы положили ), откуда следует, что при где достаточно мало, вся поверхность кроме точки лежит в области . В самом деле, при достаточно малых и у нас либо либо отрицательна, а при но отрицательны обе

Теперь, оставив прежние а и и пользуясь тем, что ни один из мы выберем вектор со так, чтобы было

и рассмотрим семейство аналитических поверхностей

где положительный параметр. Имеем, очевидно,

в силу условия (5) и непрерывности следует, что при где достаточно мало, куски для которых (число мы можем в случае надобности уменьшить), компактно принадлежат области

Семейство удовлетворяет, очевидно, условиям принципа непрерывности из Так как по условию доказываемой теоремы существует функция голоморфная в той части окрестности точки где и не продолжаемая в эту точку, то мы пришли к противоречию с этим принципом. Значит, мы доказали, что во всех точках ранг матрицы (2) не превосходит 1.

Но этот ранг ни в одной точке не может равняться 0, ибо тогда в этой точке все производные следовательно, и все т. е. не выполняется условие (1).

Таким образом, во всех точках

б) Теперь мы покажем, что аналитическая поверхность. Из (6) видно, что существует комплексная функция А, такая, что для всех

Заметим, что для всех ибо если бы было действительным числом, то из (7) следовало бы равенство где черта — знак комплексного сопряжения, и тогда ранг матрицы (1) в точке 2° был бы меньше 2, вопреки условию.

Рассмотрим произвольный вектор лежащий в касательной плоскости к поверхности в точке Он должен принадлежать касательным плоскостям к каждой из гиперповерхностей следовательно,

Отсюда в силу соотношения (7), где получаем равенства

из которых и следует аналитичность . В самом деле, из условия (1) видно, что систему , можно разрешить относительно одного из переменных, скажем Но из (8) видно, что дифференциал функции выражается лишь через и не содержит это и означает аналитичность

Рис. 121.

Примеры.

1. Пусть Поверхности , пересекаются по тору Так как это не аналитическая поверхность, то из теоремы Кнезера следует, что всякая функция голоморфная в той части окрестности где либо либо (заштрихована на диаграмме Хартогса, рис. 121), непременно голоморфно продолжается на

2. По той же причине область не может быть областью голоморфности — этот результат мы получили в при помощи логарифмической выпуклости.

Из теоремы о вложенном ребре просто следует теорема об аналитичности множества особых точек, которая отличается от доказанной в тем, что в ней заранее предполагается гладкость этого множества, но условие не слишком большой массивности формулируется лишь в терминах размерности.

Теорема 2. Если функция голоморфна в некоторой -мерной окрестности -мерной поверхности класса и не продолжается голоморфно на то аналитическая поверхность.

Пусть произвольная точка. Так как и является -мерной поверхностью, то в окрестности она задается двумя действительными уравнениями где и ранг матрицы (1) в этой окрестности равен 2. Так как заведомо голоморфна в той части окрестности где и не продолжается на то аналитическая поверхность

Небольшой модификацией рассуждений можно доказать аналог теоремы о вложенном ребре, в котором вместо голоморфной участвует мероморфная функция. Из этой теоремы сразу получится вариант теоремы об аналитичности множества существенно особых точек.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)