22. Свойства областей голоморфности.

Области голоморфности в это голоморфно выпуклые области. Мы приведем несколько их свойств, обобщающих известные свойства выпуклых областей.

Теорема 1. Пусть произвольное семейство областей голоморфности в их пересечение. Каждая связная компонента открытого ядра является областью голоморфности.

Пусть так как каждая функция из голоморфна и в то следовательно,

для всех Поэтому значит, в силу голоморфной выпуклости для всех а имеем Если бы не была областью голоморфности, то для некоторого К было бы и тогда нашлась бы для которой вопреки доказанному

В отличие от пересечения, объединение областей голоморфности не обязано быть такой же областью (ср. соответствующие свойства выпуклых областей). Это видно из простого примера: являются областями голоморфности в , а их объединение, диаграмма которого изображена на рис. 102, — нет (это доказано в .

Рис. 102.

Однако, справедлива

Теорема 2 (Бенке — Штейн).

Объединение возрастающей последовательности областей голоморфности

также является областью голоморфности, если ограничена.

Доказательство этой теоремы не так просто, и мы разобьем его на несколько этапов.

I. Прежде всего покажем, что можно представить как объединение возрастающей последовательности аналитических полиэдров (см. п. 18). Для этого выберем последовательность натуральных чисел так, чтобы области для всех удовлетворяли условию

Возможность такого выбора докажем по индукции. Положим и выберем столь большим, чтобы для было после этого выбираем так, чтобы граница области была столь близкой к что в последнем неравенстве можно заменить на Пусть выбор сделан для всех натуральных чисел, меньших выберем так, чтобы для было

а затем выберем так, чтобы была столь близкой к что в последнем неравенстве можно заменить мы получаем (2).

Так как (как область голоморфности) выпукла относительно класса то по теореме 6 предыдущего пункта для оболочки имеем

Но из (2) следует, что для любой точки

т. e. не пересекается с Поэтому для любой точки найдется функция такая, что в некотором поликруге . В силу компактности множества мы можем из покрытия его такими поликругами выбрать конечное покрытие и построить аналитический полиэдр

где найденные выше функции из класса

По нашему построению для любого натурального Поэтому область представляется как объединение возрастающей последовательности полиэдров Вейля:

причем полиэдр определяется функциями Заметим, что, начиная с некоторого все полиэдры IIV можно считать связными.

II. Покажем теперь, что класс плотен в каждом классе т. е. что любую функцию можно на любом компактном подмножестве сколь угодно точно приблизить функциями из . В самом деле, пусть заданы и По следствию 1 теоремы 2 п. 18 существует функция такая, что По тому же следствию существует такая, что вообще для любого существует функция такая, что

Последовательность функций сходится равномерно на. каждом компактном подмножестве области ибо на каждом таком подмножестве для всех достаточно больших и всех

Обозначим по теореме Вейерштрасса и так как , то

III. По построению полиэдры IIV определяются функциями из классов и поэтому они выпуклы относительно этих классов (см. пример 2 на стр. 367). Мы покажем, что они выпуклы и относительно класса Это на основании II следует из такого факта: если область является -выпуклой и класс F плотен в то является и -выпуклой.

В самом деле, пусть в силу -выпуклости области для любой точки существует функция такая, Но тогда найдется такое, что и

Так как класс F плотен в то существует функция такая, что

Отсюда, пользуясь неравенством (8), мы получим, что

Это означает, что таким образом, т. е. и область является -выпуклой.

IV. Теперь уже нетрудно доказать, что область выпукла относительно класса следовательно, является областью голоморфности. Пусть это не так; тогда найдется множество и последовательность точек сходящаяся к точке таких, что для всех

Рассмотрим -раздутие множества К, имеем и по уточненной теореме об одновременном продолжении (теорема 5 предыдущего пункта) для любой

Но для всех начиная с некоторого в силу выпуклости относительно класса для любой точки найдется функция такая, что

Так как то для достаточно больших пересечение непусто и а значит, и Поэтому последнее неравенство противоречит

Для формулировки последней теоремы этого пункта введем важное

Определение. Отображение называется биголоморфным отображением области если оно взаимно однозначно и все компоненты этого отображения голоморфны в а все компоненты обратного отображения голоморфны в

Биголоморфные отображения мы будем называть также голоморфными изоморфизмами или, короче, голоморфизмами. Они являются обобщением на пространственный случай конформных отображений.

Теорема 3. Свойство области быть областью голоморфности инвариантно относительно голоморфизмов. Иными словами, если область голоморфности и ее образ при биголоморфном отображении то также является областью голоморфности.

Пусть тогда в силу гомеоморфности и множество а так как область голоморфности, то

Легко видеть, что

В самом деле, если некоторая точка то и найдется функция такая, что

обозначим очевидно, а это означает, что

Из заключаем, что и по Таким образом, голоморфно выпукла и, следовательно, является областью голоморфности