2. Интеграл Стилтьеса и его основные свойства.

Напомним определение интеграла Римана, которым мы обычно пользовались в предыдущих томах. Пусть конечный промежуток и ограниченная функция, заданная в этом промежутке. Подразделяем промежуток на части на каждом из частичных промежутков берем некоторую точку и составляем сумму произведений:

Если при беспредельном измельчании подразделений и любом выборе точек написанная сумма имеет определенный предел А, то этот предел и называют интегралом от по промежутку . Пусть b — наибольшая из разностей Беспредельное измельчание промежутка на части равносильно тому, что и

существование определенного предела А у суммы (1) равносильно следующему: при любом заданном положительном в существует такое положительное , что

Совершенно аналогично можно построить более общее понятие интеграла. Оно было впервые введено голландским математиком Стилтьесом в 1894 г. в его исследованиях о непрерывных дробях и получило затем широкое развитие и применение как в чисто математических вопросах, так и в вопросах естествознания. Пусть на конечном промежутке заданы две функции , принимающие в каждой точке этого промежутка конечные значения. Вместо суммы (1) составим сумму

Эту сумму назовем суммой Римана — Стилтьеса. Если при беспредельном измельчании подразделений и любом выборе точек написанная сумма стремится к определенному конечному пределу, то говорят, что функция интегрируема по функции на промежутке и пишут

В интеграле Римана роль играет х. Введенный интеграл обладает, очевидно, многими свойствами, аналогичными свойствам интеграла Римана, и доказательства этих свойств проводятся совершенно так же, как и для интеграла Римана. Приведем эти свойства, считая, что все интегралы, входящие в нижеприведенные формулы, существуют:

Кроме того, имеем очевидную формулу

В первой и второй формулах (3) из существования интегралов, входящих в правую часть, следует существование интеграла, стоящего слева.

Остановимся на выводе формулы интегрирования по частям. Положим, что существует интеграл от функции по функции и покажем, что при этом существует и интеграл от по . Преобразуем сумму (2), собирая члены, содержащие значение функции в совпадающих точках,

Прибавляя и вычитая разность

можем написать

В фигурных скобках стоит сумма Римана — Стилтьеса (2) для интеграла от . По условию существует интеграл от по т. е. при беспредельном измельчании деления фигурная скобка стремится к этому интегралу. Таким образом, в силу (5), сумма о имеет предел, т. е. существует интеграл от по и мы можем написать формулу интегрирования по частям:

или

причем из существования одного из написанных интегралов следует существование другого интеграла.

Отметим два частных случая интеграла Стилгьеса. Положим, что промежуток разбивается на конечное число частей и внутри каждого из промежутков функция сохраняет постоянное значение g. Таким образом, в каждой точке лежащей внутри промежутка функция испытывает скачок Возможны также скачки и на концах промежутка: скачок на левом конце и на правом конце. Положим далее, что функция непрерывна во всех точках разрыва и на концах промежутка. Пусть точки не являются точками деления промежутка на части, кроме . В сумме (2) все слагаемые, у которых лежат внутри одного и того же промежутка будут равны нулю, так как в этом случае . Если промежуток содержит точку разрыва то при беспредельном измельчании будет стремиться к и непосредственно ясно, что в пределе сумма (2) даст следующую конечную сумму:

Если точка является точкой деления на части, то надо рассмотреть оба промежутка, имеющие концами, и результат будет таким же. Рассмотрим теперь второй частный случай. Положим, что непрерывны в имеет внутри производную интегрируемую по Риману и, следовательно, ограниченную. Применяя к разности формулу Лагранжа, можем записать сумму (2) в виде

где — значение, лежащее внутри . Мы можем положить причем, в силу равномерной непрерывности наибольшее из стремится к нулю при беспредельном измельчании подразделений, т. е. при любом заданном положительном существует такое положительное что если . Сумму (9) мы можем переписать так:

Произведение двух функций, интегрируемых по Риману, также интегрируемо и первое слагаемое правой части написанной формулы при беспредельном измельчании подразделений стремится к интегралу Римана от произведения Нетрудно показать, что второе слагаемое стремится к нулю. Действительно, функция как упомянуто выше, ограничена, т. е. , где М — определенное положительное число. Как мы упоминали, если задано положительное , то существует такое положительное что при и мы имеем оценку:

из которой, в силу произвольности , и следует, что второе слагаемое правой части формулы (9 стремится к нулю. Таким оброзом, в пределе получаем

т. е. при сделанных предположениях интеграл Стилтьеса сводится к обычному интегралу Римана. В предыдущем случае он вырождался в конечную сумму. Нетрудно показать, что формула (10) остается справедливой, если вместо непрерывности потребовать, чтобы она была интегрируемой по Риману. В дальнейшем мы рассмотрим вопрос о существовании интеграла Стилтьеса, определенного нами выше, и некоторых более общих интегралов, определение которых будет дано потом. Существенным при этом будет тот факт, что функция будет считаться неубывающей в

Неубывающую функцию мы будем часто называть в дальнейшем возрастающей. У такой функции является ее наибольшим значением и наименьшим значением. Следующий параграф носит подготовительный характер. Он будет иметь основное значение не только при исследовании вопроса о существовании интеграла Стилтьеса, определенного нами выше, но и при исследовании того же вопроса для интегралов более общего типа, которые мы введем в дальнейшем.