§ 6.4. Определение требований к входным и выходным преобразователям

Влияние входных и выходных преобразователей на динамику и точность цифровой автоматической системы будет сказываться тем меньше, чем большее число разрядов они содержат, т. е. чем меньше будут цены единиц младшего разряда. Если в проектируемой системе удерживать общий коэффициент усиления разомкнутой системы, определяемый по линеаризованным характеристикам преобразователей (рис. 2.3), на неизменном уровне, например, по результатам динамического синтеза, то изменение цен единиц младшего разряда на входе и выходе ЦВМ не вызывает изменения характера возможных периодических режимов и получающихся отклонений в цифровой (относительной) форме. Лишь при переходе к действительным отклонениям при умножении относительных величин на соответствующие цены единиц младшего разряда

для абсолютных отклонений будут получаться отличающиеся результаты. Это положение объясняется тем, что всякое изменение цены единицы младшего разряда входного преобразователя должно сопровождаться пропорциональным изменением цены единицы младшего разряда выходного преобразователя, что необходимо для сохранения результирующего коэффициента передачи цифровой части системы где и — цены единиц младшего разряда на входе и выходе ЦВМ.

Типичная структура разомкнутого канала цифровой системы управления изображена на рис. 6.21. Коэффициент передачи вспомогательной непрерывной части обозначен

Рис. 6.21. Типичная структура разомкнутого канала управления.

Она включает в себя такие элементы, как усилители, исполнительные устройства, корректирующие устройства и т. п. Коэффициент передачи собственно объекта управления обозначен

В рассматриваемой схеме в принципе возможно нарушить требуемое условие за счет изменения коэффициента передачи непрерывной части так, чтобы сохранить при этом неизменным общий коэффициент усиления канала управления Однако это вызовет лишь перераспределение коэффициентов передачи в канале до объекта управления. Так как коэффициент передачи самого объекта обычно изменить нельзя, то условие приводит к условию Это означает, что при изменении цен единиц младшего разряда останется неизменным отношение цены единицы младшего разряда выходного преобразователя, пересчитанной на вход объекта управления к цене единицы младшего разряда входного преобразователя т. е. будет иметь место условие . С точки зрения расчета возможных

нериодических режимов последнее условие не отличается от принятого выше условия

Сформулированное положение оказывается весьма важным, так как позволяет производить расчет периодических режимов, отвлекаясь от действительных значений цен единиц младшего разряда в цифровой системе и рассматривая нелинейную характеристику преобразователей в относительной (цифровой) форме (рис. 6.2). Переход к ствительным значениям амплитуд колебаний может быть затем сделан умножением на соответствующие цены единиц младших разрядов. Это позволяет учесть влияние дополнительной ошибки от периодических режимов при определении требований к преобразователям.

Выполнение условий согласования.

В процессе расчета линеаризованной системы управления (главы 4 и 5) определяется общий коэффициент усиления разомкнутой системы где — степень астатизма. Рассмотрим вначале случай, когда ЦВМ не вводит интегралов в закон управления. Тогда для общего коэффициента усиления разомкнутой системы должно выполняться равенство

где — коэффициент передачи непрерывной части от выхода преобразователя до выхода объекта управления (рис. 6.21).

С другой стороны, можно записать условие того, чтобы на выходе объекта обеспечивалось движение с максимальной по абсолютному значению производной от управляемой величины:

Символом обозначено число разрядов, при котором обеспечивается получение требуемых максимальных значений производной управляемой величины в статике, т. е. в установившемся режиме. Это число разрядов преобразователя назовем основным.

В статических системах соответствует максимальному отклонению на выходе, которое должно обеспечиваться. При астатизме первого порядка соответствует максимальной скорости, при астатизме

второго порядка — максимальному ускорению и т. д. Следует заметить, что определение надо делать с учетом необходимости парирования действующих в системе регулирования возмущений. Это было рассмотрено в § 5.2.

Из формул (6.114) и (6.115) можно найти условие, определяющее минимальное основное число разрядов выходного преобразователя, необходимое по условию сопряжения:

Так, например, если в цифровой следящей системе с астатизмом первого порядка общий коэффициент усиления (добротность по скорости) величина младшего разряда входного преобразователя угл. мин и требуемая эквивалентная скорость отработки с учетом парирования нагрузочного момента составляет то основное число разрядов выходного преобразователя должно удовлетворять неравенству

Снижение числа разрядов может быть достигнуто увеличением значения единицы младшего разряда входного преобразователя

Формула (6.116) была получена из условий согласования в статике. Однако для улучшения переходных процессов в системе целесообразно несколько расширить зону линейности для линеаризованной характеристики преобразователя и принять полное число разрядов т. е. увеличить максимальный сигнал, который может обеспечиваться на выходе преобразователя Н — К, за счет добавления одного или двух разрядов сверх того, что дает формула (6.116).

Если на ЦВМ возлагается задача введения интеграла в закон регулирования, то в формуле (6.116) должны быть использованы значения Здесь требуемый общий коэффициент усиления разомкнутой системы без учета введения интеграла (определяется не

по первой, а по второй низкочастотной асимптоте желаемой максимальное требуемое значение производной управляемой величины с учетом требований по парированию возмущений.

Ограничение зоны нечувствительности.

Для характеристики, изображенной на рис. 2.3, в, зона нечувствительности составляет Однако с учетом сказанного при построении этой характеристики (см. также рис. 2.3. г) зону нечувствительности следует принять равной Подставляя последнее выражение в (6.116), можно получить условие для выбора основного числа разрядов выходного преобразователя при заданной его зоне нечувствительности:

Необходимо отметить, что действительная зона нечувствительности в системе регулирования может отличаться от величины за счет действия возмущений (например, нагрузочного момента от сил сухого трения в следящей системе воспроизведения угла).

Ограничение амплитуды периодических режимов.

Если считать, что периодические режимы ограничены единицей младшего разряда входного преобразователя, то возможный симметричный периодический режим на входе ЦВМ будет иметь форму меандра (рис. 6.8). Тогда для амплитуды колебаний управляемой величины можно записать условие Это же условие будет иметь место и при несимметричном режиме. Однако действительная амплитуда колебаний может быть значительно меньше ее предельного значения

Для оценки ее величины можно воспользоваться следующим приближенным способом. При произвольном значении полупериода симметричных колебаний амплитуда первой гармоники входного сигнала

Амплитуда колебаний на выходе канала управления

Здесь

соответствует частотам возможных периодических режимов. Так, для рассмотренного примера 0.3 передаточная функция разомкнутой системы имела вид

Частотная передаточная функция

где постоянная времени

Рассмотрим возможный периодический режим при Тогда псевдочастота

В соответствии с (6.119) амплитуда колебаний на выходе

Полученный результат близок к тому, который был получен в § 6.3 точным расчетом. Однако для расчета по формуле (6.119) требуется знание относительного полупериода Рассмотрим поэтому задачу определения амплитуды возможного периодического режима в несколько более общей постановке. Ограничимся случаем учета одного квантующего элемента и использованием типовых л. а. х. симметричного вида, которые были рассмотрены в § 5.4.

На рис. 6.22 построены типовые асимптотические л. а. х. симметричного вида. Кривая 1 соответствует статической системе, кривая 2 — системе с астатизмом первого порядка и кривая 3 — системе с астатизмом

второго порядка. На том же рисунке изображена асимптотическая л. а. х., соответствующая множителю

при обобщении на случай, когда полупериод может быть дробным числом. Эта л. а. х. состоит из двух асимптот, одна из которых имеет наклон и соответствует частотам когда синус может быть заменен углом, а вторая совпадает с осью нуля децибел и соответствует частотам

Рис. 6.22. К расчету амплитуд возможных иериодических режимов.

Амплитуда первой гармоники колебаний пропорциональна сумме ординат двух л. а. х., соответствующих некоторой частоте содг Последнее равенство справедливо для частот Однако именно на этих частотах наблюдается наибольшая амплитуда колебаний.

На рис. 6.22 построены асимптотические л. а. х., соответствующие сумме ординат двух л. а. х. Кривая а соответствует статической системе, кривая б - астатизму первого порядка и кривая в — астатизму второго порядка. Из кривой а следует, что в статических системах наибольшие амплитуды автоколебаний будут наблюдаться в некотором интервале частот периодических или квазипериодических режимов. Этот интервал совпадает с интервалом частот, в котором проходит вторая асимптота

типовой л. а. х. В этом интервале формула (6.119) дает

Здесь — общий коэффициент усиления канала управления, — первая большая постоянная времени, формирующая типовую л. а. х. Используя формулу (6.115), превращенную в равенство, имеем из (6.122)

— максимальное значение управляемой величины, которое должно обеспечиваться на выходе системы управления. Из формулы (6.122) можно получить условие того, чтобы амплитуда колебаний не превосходила бы половины единицы младшего разряда:

Условие баланса фаз, сформулированное в § 6.3, можно записать в виде

где — запас по фазе в разомкнутой системе на частоте Фазовый сдвиг может быть найден для каждой конкретной передаточной функции (см. § 5.3 и § 5.4). Формула (6.120) определяет возможные полупериоды симметричных колебаний

Из кривой (рис. 6.22) следует, что в системе с астатизмом первого порядка максимальные амплитуды колебаний достигаются при частотах, соответствующих нахождению на первой асимптоте типовой л. а. х. Аналогично изложенному выше, здесь также можно найти максимальное возможное значение амплитуды колебаний

где — общий коэффициент усиления канала управления. Аналогично изложенному выше, формула (6.126) может быть приведена к виду

где — максимальное значение производной управляемой величины (скорости), которое должно обеспечиваться на выходе системы. Условие того, чтобы амплитуда колебаний не превосходила бы половины единицы младшего разряда:

Из кривой в (рис. 6.22) следует, что в системе с астатизмом второго порядка амплитуда колебаний оказывается тем больше, чем больше значение Максимальное значение амплитуды из (6.119)

где — общий коэффициент усиления разомкнутой системы с астатизмом второго порядка. Максимальное значение относительного полу пер иода должно быть определено из условия баланса фаз (6.125). Формула (6.129) может быть также представлена в виде

где — максимальное значение второй производной управляемой величины (ускорения), которое должно обеспечиваться на выходе. При необходимости можно воспользоваться точными методами расчета периодических режимов, изложенными в § 6.3.

Определение числа дополнительных разрядов арифметического устройства.

В цифровых вычислительных машинах практически всегда необходимо иметь в арифметическом устройстве дополнительные разряды, чем обеспечивается требуемая точность вычислительных операций. Реализация в цифровой части корректирующих алгоритмов также требует, как правило, наличия в ней дополнительных разрядов. Это объясняется тем, что коэффициенты передаточной функции могут не быть целыми числами и их реализация требует использования более мелких единиц по сравнению с единицей младшего разряда входного преобразователя.

Количество дополнительных разрядов определяется также требованиями по точности воспроизведения

дробных коэффициентов Точность воспроизведения коэффициентов может быть установлена по допустимым отклонениям от оптимальных алгоритмов при решении задачи синтеза в соответствии с главой 4 или по допустимым отклонениям постоянных времени, формирующих типовые передаточные функции или типовые л. а. х., в соответствии с главой 5. Подробнее об этом — см. работу [7].

Если известны величины всех коэффициентов передаточной функции а также требования по точности их воспроизведения, то установить необходимое число разрядов арифметического устройства не представляет труда.

Определение полного числа разрядов выходного преобразователя.

Полное число разрядов выходного преобразователя а должно обычно превышать основное число разрядов определяемое формулой (6.116). Это иллюстрируем рис. 6.23, где изображена характеристика выходного преобразователя для случая Сигнал соответствует получению в системе максимального управления в установившемся режиме. Сигнал является максимальным сигналом, который может появиться на выходе преобразователя. Разность определяет наличие запаса линейности в выходном преобразователе, который необходим для улучшения динамических характеристик системы.

Один из возможных способов определения необходимого запаса линейности в выходном преобразователе заключается в оценке влияния шумов квантования.

Следует заметить, что дополнительный запас линейности в этом случае требуется и в последующем тракте канала управления, если он безынерционен. Только в том случае, когда сигнал проходит звено с ограниченной полосой пропускания, например апериодическое, уровень шума будет снижаться и зона линейности может быть уменьшена. Расчет требуемой зоны линейности в этом случае не будет отличаться от излагаемого ниже.

Если на входе ЦВМ имеется один преобразователь (рис. 6.1), то дисперсия шумов квантования на входе ЦВМ равна 1/12 при равномерном законе распределения. При действии двух преобразователей (рис. 1.3) суммарная дисперсия равна 1/6 при законе распределения

Симпсона (треугольный закон распределения). При действии преобразователей суммарная дисперсия равна При этом закон распределения будет тем ближе к нормальному, чем больше число

Приближенное значение дисперсии шумов квантования на выходе ЦВМ может быть определено из выражения

Вместо приближенной формулы (6.131) можно воспользоваться точными формулами, приведенными в § 3.7, что вызывает, однако, усложнение расчетов.

Рис. 6.32. Пример статической характеристики выходного преобразователя.

При числе и сравнительно большом числе членов передаточной функции для процесса на выходе ЦВМ можно принять нормальное распределение. Тогда влияние шумов квантования можно учесть следующим образом.

Пусть система находится в режиме, когда требуется обеспечивать максимальное управление (рис. 6.23). На этот режим накладываются шумы с дисперсией При этом результирующий сигнал на выходе ЦВМ может попадать как на наклонный участок линеаризованной характеристики, так и на участки насыщения.

Считая, что для сигналов в цифровой (относительной) форме коэффициент передачи на наклонном участке равен единице, а на участках насыщения равен нулю, можем представить результирующий коэффициент передачи в виде

где вероятность нахождения шумового сигнала на наклонном участке характеристики (рис. 6.23), равная

результирующему коэффициенту передачи, определяется интегралом вероятностей

При известных значениях можно подобрать такое значение пользуясь формулой (6.135), при котором снижение общего коэффициента усиления оказывается допустимым. Заметим, что при выборе т. е. при формула (6.133) дает

что соответствует возможному снижению общего коэффициента усиления более чем в два раза.

Определим, например, снижение общего коэффициента усиления при выборе выходного преобразователя в соответствии с рис. 6.23 для рассмотренного выше примера 6.3 в случае наличия двух входных преобразователей. В соответствии с формулой (6.131)

Среднеквадратичное значение Далее по формуле (6 133) находим при

Относительное снижение общего коэффициента усиления составляет здесь 36,1%, что в некоторых случаях может быть недопустимым и требует увеличения зоны линейности, т. е. значения а.

Снижение требований к расширению зоны линейности, т. е. снижение требуемого количества дополнительных разрядов в выходном преобразователе, может быть достигнуто уменьшением цены единицы младшего разряда

входного и, соответственно, выходного преобразователей, что увеличивает число ступенек в нелинейной характеристике преобразователя (рис. 6.23) и снижает эффект действия шумового процесса на выходе, поскольку величина остается неизменной при неизменной передаточной функции.

Рис. 6.24. Нормированные кривые иодавления коэффициента усиления шумами квантования.

Так, для рассмотренного примера, если уменьшить вдвое цены единиц младшего разряда на входе и выходе, то Тогда при

В этом случае снижение коэффициента усиления составляет только 12,8% при относительно меньшем расширении зоны линейности преобразователя.

На рис. 6.24 построены нормированные кривые для определения результирующего коэффициента передачи ЦВМ при различных уровнях шума квантования и различных запасах линейности выходного преобразователя. Запас линейности дан в относительных единицах для значений 25%, 50%, 75% и 100%. Значение 100% соответствует случаю отсутствия установившегося значения управления, т. е. при