Прогнозирование.

В тех случаях, когда требуется воспроизведение полезного сигнала и с упреждением, т. е. при оператор преобразования (рис. 4.1) будет Тогда формула (4.39) для оптимальной передаточной функции может быть представлена в виде

где определяется равенством (4.30). Для отыскания реализуемой части выражения в фигурных скобках (4.65) следует воспользоваться обратным преобразованием Фурье

Если есть искомое обратное преобразование Фурье при отсутствии предсказания то на основании теоремы сдвига

Аналогичным образом для весовой функции оптимального фильтра можно записать при наличии предсказания

где — весовая функция при отсутствии предсказания.

На основании теории дифференциальных уравнений значения переменных состояния стационарного фильтра в момент времени можно вычислить через переменные состояния в момент времени и фундаментальную матрицу называемую также переходной матрицей, в виде где

Фундаментальная матрица описывается тем же уравнением, что и рассматриваемый фильтр, но без правой части, при единичных начальных условиях. Операторный метод нахождения ее приведен ниже, в § 4.5.

В общем случае отыскания выходных величин фильтра матричное уравнение, определяющее эти величины, будет иметь вид

где — прямоугольная матрица коэффициентов размером Характеристическое уравнение для фундаментальной матрицы в соответствии с (4.39) и (4.40) должно иметь вид

где — полюсы функции — нули функции

Схема прогнозирующего устройства может быть изображена так, как показано на рис. 4.8. В результате прохождения смеси через фильтр с весовой функцией которой соответствует передаточная функция вырабатывается совокупность переменных состояния Далее прохождение этой совокупности через фильтр, образованный фундаментальной матрицей, дает прогнозируемую совокупность переменных состояния После умножения последней на матрицу коэффициентов вырабатываются прогнозируемые значения выходных величин Может прогнозироваться одна величина. Тогда матрица коэффициентов С будет иметь размер

Рис. 4.8. Оптимальный фильтр с прогнозированием.

В частном случае, когда помехи отсутствуют, оптимальная передаточная функция

Здесь принято, что Весовая функция оптимального фильтра для этого случая

Фундаментальной матрице соответствует характеристическое уравнение (4.70), куда входят нули и полюсы функции Поэтому оно может быть записано здесь в виде

В качестве переменных состояния удобно принять входной сигнал и его производные, число которых определяется порядком характеристического уравнения (4.72).

Если прогнозирование производится на фиксированное время то фундаментальная матрица (4.69) представляет собой совокупность постоянных коэффициентов. Если необходимо произвести в быстром темпе просмотр будущих значений прогнозируемой величины, то

фундаментальная матрица реализуется в виде фильтра, протекание процессов в котором после выставки начальных условий должно определяться фундаментальной матрицей где масштаб времени. Этот фильтр должен соответствовать дифференциальному уравнению возможностью введения начальных условий.

Ошибка прогнозирования может быть получена из (4.58). Так как имеет место равенство то для случая прогнозирования формула (4.58) может быть записана в виде

Формулу (4.73) можно привести к относительному виду

Ошибка оказывается минимальной при При относительная ошибка будет стремиться к единице. При отсутствии помех

где — обратное изображение Фурье передаточной функции

Пример 4.3. Рассмотрим задачу прогнозирования углового движения объекта на морском волнении. Корреляционная функция для угла наклона а определяется выражением

где — дисперсия угла наклона, преобладающая частота, а — коэффициент нерегулярности. Этой

корреляционной функции соответствует спектральная плотность

где

Пусть требуется по результатам измерения угла и скорости наклона объекта в момент времени дать оптимальную оценку угла наклона в момент времени Помехи в определении текущих значений угла и скорости в текущий момент времени отсутствуют. В соответствии с формулами (4.65) и (4.38) сомножитель оптимальной передаточной функции

Ему соответствует обратное преобразование Фурье

Составим теперь дифференциальное уравнение, решенио которого определит фундаментальную матрицу

Выберем в качестве переменных состояния (угол наклона объекта и его первую производную Тогда для переменных состояния можно записать

Характеристическое уравнение этой системы совпадает с уравнением Запишем общее решение системы дифференциальных уравнений для первой переменной состояния:

где — произвольные постоянные. Для второй переменной состояния имеем

Введем отсчет времени от начала прогнозирования (текущее время в виде времени прогнозирования Для примем начальные условия Подстановка начальных условий в общие выражения для дает значения произвольных постоянных В результате имеем

где — элементы фундаментальной матрицы.

Полученный результат можно записать в матричной форме:

Здесь — фундаментальная матрица — матрица-столбец начальных значений при — матрица-строка коэффициентов.

Рис. 4.9. Фильтр к примеру 4.3. с прогнозированием но постоянное время.

Схема прогнозируемого устройства для фиксированного интервала времени изображена на рис. 4.9. Текущие значения переменных состояния соответствующие времени поступают на безынерционные звенья с фиксированными коэффициентами передачи а затем складываются, в результате чего получается упрежденное значение угла

Для нахождения схемы прогнозирующего устройства, просматривающего поведение угла а на всем интервале прогнозирования, найдем преобразование Лапласа для

выражения

Последнее выражение можно представить в

Ему соответствует дифференциальное уравнение

с начальными условиями а

Дифференциальное уравнение может решаться на любой вычислительной машине.

Рис. 4.10. Фильтр к примеру 4.3 с прогнозированием на интервал времени.

Если ввести ускоренный темп решения, то машинное время где Тогда уравнение должно быть записано в виде

На рис. 4.10 показана структурная схема прогнозирующего фильтра, которая может быть реализована на цифровой, так и на аналоговой ЭВМ. Импульсные элементы ИЭ и замыкаются синхронно на короткое время для введения начальных условий Затем импульсные элементы размыкаются и устройство производит вычисление прогнозируемой величины а в ускоренном темпе. Процесс может периодически повторяться с необходимым интервалом дискретности.

Характеристическое уравнение системы, изображенной на рис. 4.10:

Для того чтобы оно совпало с моделируемым уравнением, необходимо выполнить условия

Найдем теперь ошибку прогноза в рассматриваемой системе. В соответствии с формулой (4.75) относительная дисперсия ошибки

Таким образом, при дисперсия ошибки прогноза равна нулю, а при относительная дисперсия ошибки стремится к единице, т. е. к 100%. Заметим, что при прогнозируемое значение угла а стремится к нулю, т. е. к математическому ожиданию этой величины.