§ 3.3. Спектральная плотность стационарных процессов

Для непрерывных процессов вводится понятие спектральной плотности, которая связана с корреляционной функцией взаимным преобразованием Фурье [70, 139]. Запишем формулы связи применительно к корреляционной функции

Спектральная плотность может быть записана и как преобразование Фурье корреляционной функции Так как спектральная плотность, и корреляционная функция представляют собой четные вещественные функции, то иногда формулы (3.34) и (3.35) представляют в более простом виде:

Это вытекает из того, что имеют место равенства

и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (3.34) и (3.35), так как слева стоят вещественные функции.

Таблица 3.1 (см. скан)

Спектральная плотность вычисляется обычно по известной корреляционной функции по формулам (3.34) и (3.36), соответствующим двустороннему преобразованию Фурье четной функции или . В таблице 3.1 приведены некоторые примеры четных функций от и их изображений

Фурье. В таблице используются четные импульсные функции Функция расположена симметрично относительно начала координат и может быть определена следующим образом:

Аналогичное определение может быть сделано и для функции

При анализе автоматических систем в рассмотрение вводится также нормированная спектральная плотность, являющаяся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (3.29):

где спектральная плотность соответствует центрированному процессу , следовательно, является изображением Фурье корреляционной функции — дисперсия.

Аналогично введенному понятию взаимной корреляционной функции могут рассматриваться взаимные спектральные плотности являющиеся изображениями Фурье Взаимные спектральные плотности также являются мерой связи между двумя случайными величинами. При отсутствии связи взаимные спектральные плотности равны нулю.

Введем теперь понятие спектральной плотности стационарного решетчатого процесса как двустороннего -преобразования корреляционной функции:

где представляет собой -преобразование корреляционной функции

Аналогично непрерывному случаю можно ввести понятие спектральной плотности как функции круговой

частоты:

или, при учете четности и сопряженности комплексных величин

Формулы (3.41) и (3.42) могут быть записаны и для случая когда рассматривается случайная решетчатая функция корреляционная функция и спектральная плотность .

Формулой обращения для спектральной плотности является преобразование Фурье [139], вычисляемое на интервале

Если в (3.43) положить то будет получен средний квадрат случайной решетчатой функции:

Если рассматривается центрированный процесс с нулевым математическим ожиданием, то интегрирование спектральной плотности дает дисперсию случайной величины, рассматриваемой в дискретные моменты времени

При использовании спектральной плотности интегрирование дает средний квадрат решетчатой функции, рассматриваемой в дискретные моменты времени

Средний квадрат огибающей решетчатой функции может быть получен интегрированием результата, даваемого формулой (3.46), по смещению в пределах от 0 до 1:

Аналогичные формулы могут быть записаны для дисперсии.

Спектральная плотность может быть представлена как функция псевдочастоты. Так как имеют место равенства

то можно положить

Формула обращения для приобретает вид

Если в последнем выражении положить то будет получена формула для определения среднего квадрата случайной решетчатой функции:

Спектральная плотность удобна тем, что для нахождения интеграла (3.50) возможно использование таблиц интегралов спектральных плотностей непрерывных случайных процессов (Приложение).

Кроме того, в тех случаях, когда спектральная плотность имеет существенные значения в области сравнительно низких частот формула (3.49) может быть заменена приближенной:

Таким образом, формула обращения здесь совпадает с двусторонним преобразованием Фурье, что позволяет использовать для нахождения связи между спектральной плотностью и корреляционной функцией таблицы преобразования (см., например, таблицу 3.1).