§ 3.8. Корреляционные функции и спектральные плотности шумов квантования

В предыдущем параграфе для описания шума квантования использовалась гипотеза возможности описания его посредством дискретного белого шума с корреляционной функцией и спектральной плотностью (3.54). При этом отсутствовала корреляционная связь между процессами округления двух соседних тактов, а также корреляционная связь между входным сигналом и шумом квантования (рис. 3.6). В большинстве практических случаев это оказывается справедливым, и рассмотренную в § 3.7 методику следует считать основной.

Однако в некоторых случаях может потребоваться уточнение расчетов с учетом указанных выше связей. Рассмотрим возможные пути решения этой задачи, а также попытаемся сформулировать условия применимости методики расчета, рассмотренной в § 3.7.

Операция квантования по уровню во входном преобразователе (рис. 3.6) применительно к вводу в ЦВМ задающего воздействия определяется зависимостью (рис. 2.3, а)

где — цифровое представление), — цена единицы младшего разряда преобразователя, — целая

часть числа, находящегося в фигурных скобках. Такая же зависимость может быть записана и для управляемой величины

Ошибка (шум) квантования, отнесенная к входу преобразователя,

где - ошибка квантования, отнесенная к выходу преобразователя. Если — случайный процесс, то функцию можно рассматривать как случайную аддитивную помеху.

Найдем корреляционную функцию процесса на выходе нелинейного звена 2 (рис. 2.4), характеристика которого определяется зависимостью

Известно, что эта корреляционная функция может быть представлена в виде [29]

где — двумерная плотность вероятности процесса — моменты времени, и — значения входной функции в эти моменты времени. Функцию полезно разложить в ряд Фурье с периодом что позволит взять интеграл (3.150):

Пусть задающее воздействие представляет собой нормальный стационарный центрированный процесс с дисперсией и коэффициентом корреляции, т. е. нормированной корреляционной функцией, Тогда двумерная плотность вероятности процесса [57]

Подставляя (3.151) и (3.152) в формулу для корреляционной функции (3.150), получаем после двойного интегрирования в бесконечных пределах

Практически всегда выполняется условие Поэтому можно отбросить двойную сумму в (3.153). В результате получим

где

В формулу (3.154) введен дополнительный делитель, равный знаменателю функции с целью некоторой компенсации отброшенной двойной суммы (3.153). Этот делитель введен так, чтобы выполнялись условия нормировки

Из (3.154), в частности, следует, что дисперсия шумовой ошибки от квантования по уровню

Для дискретного процесса, т. е. при учете квантования по времени, корреляционная функция может быть получена из формулы (3.154) ее дискретизацией. Вводя при этом нормировку, имеем

Из (3.156) можно определить условие того, что ошибка квантования по уровню представляла бы собой дискретный белый шум. Это будет при отсутствии корреляции для т. е. для 1. Если положить то достаточное условие будет иметь вид

Формула (3.154) чрезвычайно неудобна для дальнейшего исследования. Разложение в ряд показательных функций здесь может привести к неправильным результатам вследствие того, что показатель степени по абсолютной величине обычно значительно превосходит единицу. Это вытекает из наиболее вероятного случая

Если последнее неравенство не имеет места, то можно разложить в степенной ряд функцию

Тогда упрощается формула для корреляционной функции (3.154):

Подобное выражение может использоваться, например, в случаях, когда на преобразователь непрерывной величины в код поступает сигнал ошибки ЦАС, которая, как правило, мала по своей величине.

Для дискретного случая из (3.159) имеем

Для корреляционных функций или сравнительно простого вида здесь может быть найдена спектральная плотность ошибки квантования.

Пусть, например, на входе преобразователя действует случайный стационарный сигнал с корреляционной функцией

Тогда из (3.159) для непрерывного случая получаем

Переход к спектральной плотности может быть сделан по преобразованию Фурье

Из последнего выражения следует, что квантование по уровню расширяет спектр входного сигнала тем сильнее, чем больше отношение Однако при больших значениях отношения формула (3.162) перестает быть справедливой, так как оказывается неправильным разложение (3.158).

Спектральная плотность для дискретного случая (при учете квантования по времени) может быть получена из (3.163) на основании приведенной выше формулы (3.59). Используя ее, имеем

где эквивалентная постоянная времени

Если ограничиться учетом только первой составляющей бесконечной суммы (3.164) и ввести корректирующий множитель с тем, чтобы интеграл по всем частотам от спектральной плотности давал бы дисперсию, то вместо (3.164) получим

где

Для случая приходится искать другие пути определения спектральной плотности шумовой ошибки квантования. Один из возможных способов заключается в следующем.

Изобразим функцию в виде графика (рис. 3.14) для случая При известной нормированной корреляционной функции входного сигнала это можно сделать по формуле (3.155). Построенный график дает

возможность подобрать некоторую аппроксимацию функции удобную для последующего использования.

Наиболее грубая аппроксимация получается при использовании прямоугольника с высотой, равной единице, и протяженностью, равной времени корреляции

Рис. 3.14. Аппроксимация коэффициента корреляции.

Можно использовать параболическую или иную зависимость. Все они в той или иной мере приводят к цели. С точки зрения последующего использования наиболее удобна аппроксимация графика отрезком косинусоиды рассматриваемой в интервале , где определяется из условия

Так как площадь этого отрезка косинусоиды для положительных значений равна то время и частота могут быть определены из времени корреляции:

Аналогичным образом для можно ввести аппроксимирующую функцию Значение угловой частоты определяется временем корреляции при выбранном значении

Наиболее вероятен случай, когда справедливы соотношения

Однако окончательное решение этого вопроса может быть сделано только пссле исследования для заданного вида функции . В результате подобной

аппроксимации функция (3.154) приобретает вид

формула (3.171) позволяет в простейших случаях задания найти спектральную плотность шума квантования для Пусть, например, корреляционная функция входного сигнала определяется (3.161). Тогда формула (3.171) может быть записана следующим образом:

при Далее, можно разложить функцию в ряд, учитывая то обстоятельство, что существование ее для времени не имеет значения, так как при этом Ограничиваясь поэтому линейным членом разложения, имеем

Применение преобразования Фурье к корреляционной функции (3.173) дает спектральную плотносгь шума квантования по уровню

Спектральная плотность представляет совокупность отдельных составляющих, каждая из которых содержит два пика на частотах и Переход к спектральной плотности решетчатого процесса может быть сделан в соответствии с формулой (3.74).

Следует заметить, однако, что полученные результаты имеют малое практическое значение. Входной сигнал

с корреляционной функцией (3.159) физически нереален, так как ему соответствует бесконечная дисперсия скорости. Попытки использовать корреляционную функцию более сложного вида с конечной дисперсией скорости приводят к необходимости учета квадратичного члена в разложении функции так как в этих случаях Это обусловливает получение корреляционных функций значительно более сложного вида, не поддающихся последующему интегрированию.

Рис. 3.15 Шум квантования по уровню при линейном возрастании квантуемого сигнала.

В связи с этим рассмотрим иной путь нахождения статистических характеристик шума квантования, позволяющий вводить более сложные корреляционные функции входного сигнала. Кроме того, этот путь не требует выполнения условия стационарности входного сигнала. Здесь достаточно иметь выполнение условия стационарности скорости изменения входного сигнала.

Пусть входной сигнал изменяется с постоянной скоростью В этом случае помеха, вызванная квантованием по уровню, будет изменяться в соответствии с графиком, изображенным на рис. 3.15, в пределах от —0,56] до с периодом

Единственной случайной величиной в этом процессе будет смещение 6, для которого может быть принята гипотеза о равномерном распределении в интервале от 0 до Рассмотрим корреляционную функцию этого процесса. Так как процесс периодичен, то имеет место равенство

где Далее можно определить при

Если где — целое число, а то вследствие периодичности процесса Поэтому в общем случае формула (3.176) может быть записана в виде

где соответствует целой части относительного временного интервала:

Корреляционную функцию (3.176) можно привести к безразмерному виду делением на дисперсию шума квантования:

В формулу (3.179) введен знак модуля, так как График этой функции построен на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Корреляционная функция шума квантования при движении с постоянной скоростью.

Переход к случаю, когда скорость входного сигнала не постоянна, а меняется случайным образом, представляет собой трудную задачу, которая может быть решена

методами численного интегрирования [73]. Здесь мы рассмотрим получение приближенных зависимостей для случая, когда входная скорость соответствует стационарному процессу.

Пусть скорость может быть принята постоянной на каждом периоде пилообразного сигнала (рис. 3.15). Введем понятие математического ожидания (среднего значения) продолжительности одного зубца «пилы»

где — среднее по модулю значение скорости изменения входного сигнала. Тогда для корреляционная функция может быть получена из (3.176) при замене на

Если то в соответствии с формулой (3.177), а также учитывая то обстоятельство, что среднее произведение скоростей двух зубцов «пилы», сдвинутых на тактов, равно корреляционной функции скорости входного воздействия для корреляционной функции шума квантования по уровню может быть записано приближенное выражение в виде

где — средний квадрат входной скорости, целая часть относительного временного сдвига, определяемая формулой

Таким образом, корреляционная функция шума квантования может быть получена из исходной периодической кривой (рис. 3.15) при замене на и введении затухания, которое определяется огибающей нормированной корреляционной функции Формула (3.182) будет тем точнее, чем медленнее затухает огибающая внутри периода

Для перехода к спектральной плотности целесообразно разложить периодическую кривую (рис. 3.14) в ряд

Фурье. Из формулы (3.179) имеем

Использование этого разложения дает возможность представить формулу (3.182) в виде

Во многих случаях для корреляционной функции (3.184) сравнительно просто может быть найдена спектральная плотность. Так, например, если на входе действует типовой входной процесс следящей системы [8] с корреляционной функцией для скорости то корреляционная функция помехи от квантования по уровню

Для этой функции нетрудно найти спектральную плотность (3.69):

Для случая, когда огибающая затухает медленно , корреляционная функция и спектральная плотность изображены на рис. 3.17. Корреляционная функция (рис. 3.17, а; получена из графика, изображенного на рис. 3.16, изменением периода и введением затухания по экспоненте с постоянной времени Спектральная плотность содержит ряд убывающих по высоте размытых пиков на частотах гармоник. Высоты пиков убывают пропорционально где — порядок гармоники.

Для получения корреляционной функции решетчатого процесса следует в формуле (3.182) сделать подстановку

где Т — период дискретности. Тогда

где — целая часть относительного временного сдвига, определяемая выражением

Если использовать форму записи (3.184), то для дискретного процесса, описывающего шум квантования, корреляционная функция

Рис. 3.17. Корреляционная функция и спектральная плотность шума квантования для типового входного сигнала.

Рассмотрим теперь несколько случаев. Если скорость движения мала и , то при выполнении условия на основании (3.75) и (3.185) для рассматриваемого случая можно записать спектральную плотность в виде

График спектральной плотности совпадает с изображенным на рис. 3.17, б при замене частоты на псевдочастоту Я. Если ограничиться учетом только первого

пика спектральной плотности, то ее можно записать в виде

Уровень спектральной плотности на нулевой частоте можно определить, интегрируя (3.190) в бесконечных пределах и приравнивая полученное значение дисперсии шума квантования В результате имеем

Случай очень медленного движения при выполнении условий следует исключить из рассмотрения, так как здесь не будет выполняться условие малого изменения скорости на интервале времени

В случае медленного движения при но при спектральной плотности (3.190) на основании (3.75) соответствует корреляционная функция шума квантования

В случае быстрого движения, т. е. при выполнении условия можно считать, что первый резонансный пик (рис. 3.17, б) сдвинут в область высоких частот, так что в полосе пропускания системы управления шум квантования будет белым с корреляционной функцией

и спектральной плотностью

Корреляционная функция (3.193) может быть получена из (3.188) при замене

Таким образом, для случая и было использовано в § 3.7 представление помех от квантования по уровню в виде дискретного белого шума. Однако такое представление может быть оправданным только в том случае, когда полоса пропускания замкнутой ЦАС сравнительно мала и влияние пика спектральной плотности (рис. 3.17, б) оказывается несущественным.

Если статистические характеристики шума квантования во входном преобразователе используются для нахождения дисперсии выходной величины ЦВМ, то представление о малой полосе пропускания здесь часто оказывается несправедливым. Поэтому для расчета в этом случае должны быть использованы формулы (3.189) или (3.191).

В случае, когда сигнал ошибки на входе ЦВМ образуется как разность задающего воздействия и управляемой величины с отдельными преобразователями непрерывной величины в код для и и результирующий шум, создаваемый квантованием по уровню, может быть получен суммированием двух шумовых процессов. При этом, естественно, предположить, что при отсутствии возмущающих воздействий закон изменения управляемой величины близок к закону изменения задающего воздействия. Это приводит к одинаковому виду корреляционных функций и спектральных плотностей двух процессов. Кроме того, наличие регулярных и случайных сдвигов между ними, что определяется наличием ошибки, позволяет использовать гипотезу о их независимости, это приводит к необходимости удвоения дисперсии ошибки квантования во всех полученных в данном параграфе формулах. Таким образом, в этом случае

Если в системе управления имеются возмущающие воздействия, то закон изменения управляемой величины будет менее близок к закону изменения задающего воздействия, чем в предыдущем случае. Однако, имея в виду малость ошибки в замкнутой системе, и в этом случае можно воспользоваться формулой (3.195).

В принципе здесь возможно ввести уточнение, если найти спектральную плотность и корреляционную функцию скорости изменения управляемой величины в замкнутой системе как результат приложенных к системе

задающего воздействия и возмущений, что может быть сделано на основании § 3.5 и § 3.6.

В системах управления, содержащих один входной преобразователь в канале ошибки, на его входе действует случайный процесс, статистические характеристики которого определяются в процессе расчета в соответствии с § 3.6. Поэтому в формуле (3.188) должна быть использована корреляционная функция скорости изменения ошибки

Пример 3.3. Рассмотрим ЦАС, исходные данные которой были приведены в примере 3.2 (см. § 3.7). Пусть задающее воздействие на входе ЦАС представляет собой типовой входной сигнал следящей системы (рис. 3.7) с большим значением среднего времени движения с неизменной скоростью. Тогда движение на каждом участке постоянства скорости можно рассматривать как квазистационарный процесс с корреляционной функцией для скорости где V — случайное значение скорости движения.

Определим дисперсию ошибки, вызванной квантованием по уровню во входном преобразователе, в квазистационарном режиме движения. При этом сравним использование представления помехи как в виде дискретного белого шума, так и в виде окрашенного шума в соответствии с изложенным в настоящем параграфе.

В соответствии с расчетом, проделанным в примере 3.2, при использовании гипотезы белого шума дисперсия дополнительной ошибки

и ее среднеквадратичное значение

На основании формулы (3.188) корреляционная функция шума квантования в рассматриваемом случае будет (при

Ограничиваясь первым членом этого ряда, представим корреляционную функцию в виде (см. (3.192))

Этой корреляционной функции соответствует спектральная плотность (см. § 3.4)

где

Дисперсия ошибки от квантования по уровню во входном преобразователе

Максимальное значение дисперсии будет при частоте совпадающей с резонансной частотой замкнутой системы. В этом случае максимальное значение модуля частотной передаточной функции замкнутой системы равно показателю колебательности, т. е.

В результате можно представить дисперсию ошибки от шумов квантования для наиболее неблагоприятного случая, когда частота совпадает с резонансной частотой замкнутой системы в виде

Это значение дисперсии больше полученного в примере 3.2 приблизительно в четыре раза. Соответственно среднеквадратичное значение ошибки будет больше в два раза.

Рассмотренный неблагоприятный случай характеризуется условием

откуда может быть получено значение скорости движения, соответствующей максимальной ошибке, вызванной

квантованием по уровню:

Из последнего выражения может быть установлен физический смысл условия получения наибольшей ошибки. Это будет иметь место при совпадении основной частоты квантованного сигнала (см. рис. 3.15) с резонансной частотой замкнутой ЦАС.