Главная > Цифровые автоматические системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3.11. Системы со случайным периодом дискретности

При нежесткой программе работы ЦВМ, обслуживающей несколько каналов управления, возможен случай, когда период дискретности оказывается случайной величиной. Учет этого обстоятельства в некоторых случаях может быть необходимым.

Переменность периода дискретности означает, что система управления будет относиться к категории систем с переменными параметрами. Точное исследование подобных систем сопряжено со значительными трудностями даже при использовании вычислительной техники, так как требует, кроме знания закона распределения периода дискретности, также и сведений о статистических характеристиках, оценивающих изменение периода дискретности во времени.

Изменение периода дискретности от интервала к интервалу может быть представлено в виде случайного решетчатого процесса где представляет собой номер текущего интервала дискретности. Этому процессу могут быть поставлены в соответствие корреляционная функция и в стационарном случае — спектральная плотность. Однако последние характеристики, как правило, поддаются с трудом достоверной оценке, что вызывает необходимость отыскания приемлемых для практики методов учета случайности периода дискретности при минимальной априорной информации. В качестве такой минимальной информации может использоваться закон распределения или только сведения о первых двух моментах случайной величины.

Ниже приводятся некоторые способы определения влияния случайности периода дискретности для предельных случаев, когда период дискретности изменяется во времени сравнительно быстро и сравнительно медленно по отношению к процессам, протекающим в замкнутой ЦАС.

Рассмотрим вначале общий подход к определению устойчивости замкнутой ЦАС в предположении, что изменение периода дискретности во времени соответствует случайному стационарному процессу. В устойчивой цифровой системе ее решетчатая весовая функция должна быть затухающей. Это можно записать следующим

образом:

где - приведенная решетчатая весовая функция замкнутой системы (реакция на единичную решетчатую импульсную функцию).

Строго говоря, рассматриваемая весовая функция зависит от двух переменных, так как она соответствует системе с переменными параметрами. Одной из переменных может быть текущее время, а второй — момент приложения импульса на входе. Запись в виде (3.271) соответствует рассмотрению нормальной весовой функции [8] при приложении на входе единичного импульса в любой момент времени, который и служит началом отсчета.

Представим весовую функцию для случая некратных корней знаменателя передаточной функции замкнутой системы в виде

где — корни, — постоянные коэффициенты, — порядок разностного уравнения. Тогда формула (3.271) может быть записана в виде

При случайном периоде дискретности корни будут также случайными величинами. Для того чтобы система была устойчивой в среднеквадратичном смысле, что определено заданием условия (3.271), потребуем выполнения неравенства (3.273) для математических ожиданий. Тогда получим

Здесь введены обозначения для математических ожиданий:

Из формулы (3.274) следует, что условие устойчивости сводится к требованию, чтобы среднеквадратичные значения корней характеристического уравнения были бы меньше единицы, т. е. При этом условие выполняется автоматически, так как

Однако сформулированное требование к корням может быть практически использовано для оценки устойчивости при выполнении двух условий. Первое условие сводится к тому, чтобы процессу изменения периода дискретности во времени соответствовали бы более высокие частоты по сравнению с частотами, присущими весовой функции. Только в этом случае будет происходить усреднение периода дискретности на интервале существования весовой функции. В противном случае на отдельных отрезках времени, для которых может быть характерным длительное отклонение периода дискретности от его среднего значения, возможно появление так называемой технической неустойчивости системы с большими отклонениями управляемой величины от заданного значения, хотя теоретически такая система продолжает оставаться устойчивой в смысле формулы (3.271).

Второе условие сводится к тому, чтобы определение среднеквадратичных значений корней характеристического уравнения могло бы быть сделано достаточно просто. Это, по сути дела, ограничивает практическое использование условия устойчивости элементарными случаями, когда зависимость известна. Тогда среднеквадратичное значение может быть найдено из формулы

где — плотность вероятности для периода дискретности. Вычисление интеграла (3.275), как правило, бывает сопряжено со значительными трудностями и требует использования вычислительной техники.

Если период дискретности изменяется медленно по сравнению с изменением весовой функции, то рациональным здесь оказывается использование метода замороженных коэффициентов. В этом случае расчет устойчивости следует сделать для нескольких возможных значений периода дискретности, например для

Практически важную задачу представляет определение влияния случайности периода дискретности на качественнее показатели системы. Как и при определении устойчивости, здесь можно различать два случая. Первый случай соответствует быстрому изменению во времени периода дискретности. Тогда оценка качественных показателей может быть сделана по усредненным значениям, т. е. по их математическим ожиданиям.

Пусть, например, качество системы определяется некоторым критерием, представляющим собой функцию от периода дискретности: . Тогда, если известно выражение для плотности вероятности математическое ожидание этого критерия можно найти по формуле

Формула (3.276) оказывается обычно слишком сложной для практических расчетов. Более простой путь заключается в следующем. Пусть период дискретности имеет математическое ожидание и случайное отклонение от математического ожидания имеющее нулевое среднее и дисперсию Тогда период дискретности будет Разложим функцию качества в ряд Тейлора в окрестностях точки

Математическое ожидание критерия при ограничении тремя членами ряда

Формула (3.278) может использоваться для различных оценок качества (точности, запаса устойчивости, быстродействия) и, в частности, может быть применена для приближенной оценки вместо формулы (3.275). Входящая

в формулу производная должна быть вычислена для

В случае относительно медленных изменений периода дискретности во времени качественные показатели могут определяться по методу замороженных коэффициентов для некоторых значений периода, например для что, как правило, приводит к более жестким требованиям для допустимых изменений периода дискретности.

Пример 3.6. Рассмотрим систему с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

Определим условие устойчивости и найдем показатель колебательности замкнутой системы, если , а плотность вероятности для периода дискретности соответствует равновероятному закону

с дисперсией

Рассмотрим вначале случай относительно быстрых изменений периода дискретности. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет один корень Среднеквадратичное значение корня из (3.275)

Условие устойчивости дает здесь

Заметим, что в рассматриваемом случае среднеквадратичное значение корня не зависит от функции распределения, а определяется только значениями Действительно, можем записать здесь

Перейдя в левой и правой частях равенства к математическому ожиданию, имеем

что совпадает с полученным выше.

Частотная передаточная функция разомкнутой системы здесь имеет вид

Амплитудно-фазовая характеристика для этого примера была построена ранее (см. пример 2.3) на рис. 2.26, а и б. Из сопоставления ее с запретной областью для заданного показателя колебательности (рис. 2.27, д) следует, что последний для случая может быть определен из равенства откуда следует: Воспользовавшись формулой (3.276), имеем математическое ожидание показателя колебательности

Использование приближенной формулы (3.278) дает здесь

Пусть, например, . Тогда точная формула дает , а приближенная .

Перейдем теперь к случаю медленных изменений периода дискретности. Из полученной выше формулы для следует условие технической устойчивости на любом интервале времени

которое преобразуется к неравенству Наихудший случай, определяющий минимальное допустимое значение

общего коэффициента усиления, соответствует Ттах Тогда условие устойчивости будет

Оно оказывается более жестким по сравнению с полученным выше для бесконечного интервала времени. Показатель колебательности в наихудшем случае здесь будет определяться выражением

Для заданных числовых значений имеем Мтау что превышает полученное выше математическое ожидание показателя колебательности.

1
Оглавление
email@scask.ru