§ 3.11. Системы со случайным периодом дискретности

При нежесткой программе работы ЦВМ, обслуживающей несколько каналов управления, возможен случай, когда период дискретности оказывается случайной величиной. Учет этого обстоятельства в некоторых случаях может быть необходимым.

Переменность периода дискретности означает, что система управления будет относиться к категории систем с переменными параметрами. Точное исследование подобных систем сопряжено со значительными трудностями даже при использовании вычислительной техники, так как требует, кроме знания закона распределения периода дискретности, также и сведений о статистических характеристиках, оценивающих изменение периода дискретности во времени.

Изменение периода дискретности от интервала к интервалу может быть представлено в виде случайного решетчатого процесса где представляет собой номер текущего интервала дискретности. Этому процессу могут быть поставлены в соответствие корреляционная функция и в стационарном случае — спектральная плотность. Однако последние характеристики, как правило, поддаются с трудом достоверной оценке, что вызывает необходимость отыскания приемлемых для практики методов учета случайности периода дискретности при минимальной априорной информации. В качестве такой минимальной информации может использоваться закон распределения или только сведения о первых двух моментах случайной величины.

Ниже приводятся некоторые способы определения влияния случайности периода дискретности для предельных случаев, когда период дискретности изменяется во времени сравнительно быстро и сравнительно медленно по отношению к процессам, протекающим в замкнутой ЦАС.

Рассмотрим вначале общий подход к определению устойчивости замкнутой ЦАС в предположении, что изменение периода дискретности во времени соответствует случайному стационарному процессу. В устойчивой цифровой системе ее решетчатая весовая функция должна быть затухающей. Это можно записать следующим

образом:

где - приведенная решетчатая весовая функция замкнутой системы (реакция на единичную решетчатую импульсную функцию).

Строго говоря, рассматриваемая весовая функция зависит от двух переменных, так как она соответствует системе с переменными параметрами. Одной из переменных может быть текущее время, а второй — момент приложения импульса на входе. Запись в виде (3.271) соответствует рассмотрению нормальной весовой функции [8] при приложении на входе единичного импульса в любой момент времени, который и служит началом отсчета.

Представим весовую функцию для случая некратных корней знаменателя передаточной функции замкнутой системы в виде

где — корни, — постоянные коэффициенты, — порядок разностного уравнения. Тогда формула (3.271) может быть записана в виде

При случайном периоде дискретности корни будут также случайными величинами. Для того чтобы система была устойчивой в среднеквадратичном смысле, что определено заданием условия (3.271), потребуем выполнения неравенства (3.273) для математических ожиданий. Тогда получим

Здесь введены обозначения для математических ожиданий:

Из формулы (3.274) следует, что условие устойчивости сводится к требованию, чтобы среднеквадратичные значения корней характеристического уравнения были бы меньше единицы, т. е. При этом условие выполняется автоматически, так как

Однако сформулированное требование к корням может быть практически использовано для оценки устойчивости при выполнении двух условий. Первое условие сводится к тому, чтобы процессу изменения периода дискретности во времени соответствовали бы более высокие частоты по сравнению с частотами, присущими весовой функции. Только в этом случае будет происходить усреднение периода дискретности на интервале существования весовой функции. В противном случае на отдельных отрезках времени, для которых может быть характерным длительное отклонение периода дискретности от его среднего значения, возможно появление так называемой технической неустойчивости системы с большими отклонениями управляемой величины от заданного значения, хотя теоретически такая система продолжает оставаться устойчивой в смысле формулы (3.271).

Второе условие сводится к тому, чтобы определение среднеквадратичных значений корней характеристического уравнения могло бы быть сделано достаточно просто. Это, по сути дела, ограничивает практическое использование условия устойчивости элементарными случаями, когда зависимость известна. Тогда среднеквадратичное значение может быть найдено из формулы

где — плотность вероятности для периода дискретности. Вычисление интеграла (3.275), как правило, бывает сопряжено со значительными трудностями и требует использования вычислительной техники.

Если период дискретности изменяется медленно по сравнению с изменением весовой функции, то рациональным здесь оказывается использование метода замороженных коэффициентов. В этом случае расчет устойчивости следует сделать для нескольких возможных значений периода дискретности, например для

Практически важную задачу представляет определение влияния случайности периода дискретности на качественнее показатели системы. Как и при определении устойчивости, здесь можно различать два случая. Первый случай соответствует быстрому изменению во времени периода дискретности. Тогда оценка качественных показателей может быть сделана по усредненным значениям, т. е. по их математическим ожиданиям.

Пусть, например, качество системы определяется некоторым критерием, представляющим собой функцию от периода дискретности: . Тогда, если известно выражение для плотности вероятности математическое ожидание этого критерия можно найти по формуле

Формула (3.276) оказывается обычно слишком сложной для практических расчетов. Более простой путь заключается в следующем. Пусть период дискретности имеет математическое ожидание и случайное отклонение от математического ожидания имеющее нулевое среднее и дисперсию Тогда период дискретности будет Разложим функцию качества в ряд Тейлора в окрестностях точки

Математическое ожидание критерия при ограничении тремя членами ряда

Формула (3.278) может использоваться для различных оценок качества (точности, запаса устойчивости, быстродействия) и, в частности, может быть применена для приближенной оценки вместо формулы (3.275). Входящая

в формулу производная должна быть вычислена для

В случае относительно медленных изменений периода дискретности во времени качественные показатели могут определяться по методу замороженных коэффициентов для некоторых значений периода, например для что, как правило, приводит к более жестким требованиям для допустимых изменений периода дискретности.

Пример 3.6. Рассмотрим систему с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

Определим условие устойчивости и найдем показатель колебательности замкнутой системы, если , а плотность вероятности для периода дискретности соответствует равновероятному закону

с дисперсией

Рассмотрим вначале случай относительно быстрых изменений периода дискретности. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет один корень Среднеквадратичное значение корня из (3.275)

Условие устойчивости дает здесь

Заметим, что в рассматриваемом случае среднеквадратичное значение корня не зависит от функции распределения, а определяется только значениями Действительно, можем записать здесь

Перейдя в левой и правой частях равенства к математическому ожиданию, имеем

что совпадает с полученным выше.

Частотная передаточная функция разомкнутой системы здесь имеет вид

Амплитудно-фазовая характеристика для этого примера была построена ранее (см. пример 2.3) на рис. 2.26, а и б. Из сопоставления ее с запретной областью для заданного показателя колебательности (рис. 2.27, д) следует, что последний для случая может быть определен из равенства откуда следует: Воспользовавшись формулой (3.276), имеем математическое ожидание показателя колебательности

Использование приближенной формулы (3.278) дает здесь

Пусть, например, . Тогда точная формула дает , а приближенная .

Перейдем теперь к случаю медленных изменений периода дискретности. Из полученной выше формулы для следует условие технической устойчивости на любом интервале времени

которое преобразуется к неравенству Наихудший случай, определяющий минимальное допустимое значение

общего коэффициента усиления, соответствует Ттах Тогда условие устойчивости будет

Оно оказывается более жестким по сравнению с полученным выше для бесконечного интервала времени. Показатель колебательности в наихудшем случае здесь будет определяться выражением

Для заданных числовых значений имеем Мтау что превышает полученное выше математическое ожидание показателя колебательности.