§ 5.4. Типовые передаточные функции цифровых систем управления

В цифровых системах возможно использование рассмотренных в предыдущем параграфе типовых л. а. х. (типовых передаточных функций) при учете особенностей, которые вносятся дискретностью.

Выбор низкочастотной части л. а. х. должен делаться в соответствии с методикой обеспечения заданной точности, изложенной в § 5.3. Для этого необходимо, чтобы л. а. х. не заходила бы в запретную область, форма которой определяется заданием дисперсий (или максимальных значений) входного сигнала и его производных, а также дисперсий (или максимальным значением) ошибки воспроизведения. При этом предполагается, что для частот, которые определяют расположение запретной области

по точности, справедливо утверждение о практическом совпадении круговой частоты с псевдочастотой, т. е.

Условие (5.178) определяет понятие низких частот в рассматриваемой системе.

Построение средне- и высокочастотной частей желаемой типовой л. а. х. производится в соответствии с изложенным, но с учетом особенностей построения л. а. х. цифровых систем, которые были изложены в главе 2. Эти особенности сводятся к методике учета малых постоянных времени и к учету эффекта транспонирования частот в колебательных и консервативных звеньях.

Типовые передаточные функции цифровых систем при использовании непрерывных корректирующих звеньев.

Рассмотрим методику построения типовой л. а. х. для цифровой системы при использовании экстраполятора нулевого порядка. Пусть асимптотическая л. а. х. непрерывной системы, удовлетворяющей требованиям точности воспроизведения задающего воздействия и требованиям по запасу устойчивости, имеет вид, изображенный на рис. 5.31, а. Изломы асимптотической л. а. х. определяются реальными постоянными времени апериодических звеньев, входящих в структуру системы (объект, исполнительные элементы, усилители и др.), и постоянными времени используемых в системе непрерывных корректирующих звеньев.

Выберем некоторое значение периода дискретности Т и проведем на логарифмической сетке вертикальную прямую на частоте 271. Тогда на основании изложенного в § 2.8 вся асимптотическая л. а. х. непрерывной системы левее частоты перейдет в асимптотическую л. а. х. цифровой системы. Область частот от правого края запретной области по точности до частоты представляет собой область средних частот. Таким образом, и в области низких частот (в районе запретной области по точности), и в области средних частот построение л. а. х. цифровой системы не имеет никаких особенностей по сравнению с непрерывной системой (рис. 5.31, б).

Из изложенного в § 2.8 следует, что правее частоты т. е.. в области высоких частот, асимптотическая

л. а. х. цифровой системы имеет последнюю асимптоту с нулевым наклоном. Сопряжение этой асимптоты со среднечастотной частью может быть различным, что показано на рис. 5.31, б в виде некоторой области сопряжения.

Рис. 5.31. Переход от л. а. х. непрерывной системы к дискретной.

Ход л. а. х. в высокочастотной области и тот или иной вид сопряжения последней асимптоты со среднечастотной частью л. а. х. не имеют практического значения. Важно, чтобы вид л. а. х. правее частоты среза отвечал бы условию ограничения суммы малых постоянных времени в соответствии с формулами § 5.3. Кроме того, должно быть наложено ограничение на высоту резонансных пиков в области высоких частот, если фазовый сдвиг, который имеет система без учета рассматриваемого колебательного звена, в районе пика лежит в пределах .

Таким образом, в цифровых системах с экстраполятором нулевого порядка эквивалентная постоянная времени, которая должна учитываться в формуле для малых

постоянных времени, равна

где — сумма малых постоянных времени непрерывной части системы, — временное запаздывание.

Кроме того, должно проверяться отсутствие захода л. а. х. при в область, ограниченную прямой (рис. 5.32).

Рис. 5.32. К построению высокочастотной части л. а. х.

В цифровых системах с экстраполятором первого порядка вместо (5.179) должна рассматриваться формула

Изложенное позволяет сформулировать требования к типовым передаточным функциям разомкнутой цифровой системы. Выполнение этих требований гарантирует получение заданного запаса устойчивости. В низкочастотной и среднечастотной областях л. а. х. цифровой системы должна совпадать с какой-либо типовой л. а. х. «симметричного» или «несимметричного» вида из рассмотренных в § 5.3. Высокочастотная часть л. а. х. должна удовлетворять требованиям по ограничению суммы малых постоянных времени.

В соответствии с классификацией типовых л. а. х., приведенной в § 5.3, для статических систем здесь будут получаться л. а. х. типа для систем с астатизмом первого порядка л. а. х. типа и для систем с астатизмом второго порядка типа 2—1—2 — 3...0.

Так как практически во всех случаях целесообразно иметь в цифровой системе наибольшее допустимое значение периода дискретности, то вертикальную линию на частоте следует стремиться расположить на асимптоте единичного наклона правее частоты среза (рис. 5.31, в).

В таблице 5.3 приведены типовые передаточные функции разомкнутых цифровых систем с экстраполяторами нулевого порядка, которым соответствует л. а. х. «симметричного» вида, для запаздывания и при выполнении условия максимизации периода дискретности.

Отказ от последнего условия позволяет иметь в знаменателе передаточной функции дополнительные множители типа при ограничении суммы постоянных времени в соответствии с формулой (5.179) либо дополнительные множители, соответствующие колебательным звеньям при ограничении суммы постоянных времени и высоты резонансных пиков.

Кроме того, принято, что постоянные времени удовлетворяют условиям: где Это означает, что вертикальная прямая пересекает асимптоту л. а. х., имеющую наклон Таблица 5.4 соответствует таким же передаточным функциям цифровых систем, но с использованием экстраполяторов первого порядка.

Асимптотические л. а. х., соответствующие типовым передаточным функциям таблиц 5.3 и 5.4, изображены на рис. 5.33. На рис. 5.33, а изображены л. а. х., соответствующие дискретной частотной передаточной функции, а на рис. 5.33, — соответствующие исходной передаточной функции непрерывной части. Граничная частота для цифровых систем с экстраполятором нулевого порядка равна для цифровых систем с экстраполятором первого порядка . В соответствии с классификацией, принятой в § 5.3, здесь для статических систем получаются л. а. х. типа для систем с астатизмом первого порядка - л. а. х. типа и для систем с астатизмом второго порядка — л. а. х. типа 2—1—0.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Наличие малого временного запаздывания не меняет вида типовых передаточных функции. Необходимо только учесть это запаздывание в общей сумме малых постоянных времени.

Рис. 5.33. (см. скан) Типовые л. а. х. цифровых систем при максимизации периода дискретности.

Типовые передаточные функции разомкнутых систем, которым соответствуют л. а. х. несимметричного вида, могут быть составлены по такому же принципу, т. е. посредством объединения требуемого вида передаточной

функции в низкочастотной части с ее высокочастотной частью, которая дается в § 2.8. Так, например, рассмотрим л. а. х. типа (см. рис. 5.16, б). Этой л. а. х. соответствует передаточная функция разомкнутой системы

Требуемый запас устойчивости в цифровой системе с экстраполятором нулевого порядка будет обеспечен, если выполняется условие

Последнее условие является достаточным и обеспечивает отсутствие захода в область, ограниченную прямой (см. рис. 5.32), если имеется хотя бы одна постоянная времени, по величине большая чем Если для всех постоянных времени справедливо неравенство то для предотвращения захода высокочастотного «хвоста» л. а. х. в запретную зону необходимо выполнить дополнительное условие

В соответствии с классификацией § 5.3 здесь получается л. а. х. типа 1— 2 — 3...0. Приведенные в § 5.3 формулы для допустимой суммы малых постоянных времени позволяют дать оценку для максимального возможного периода дискретности ЦВМ.

Если исходить из случая, изображенного на рис. 5.5, а, то допустимая эквивалентная сумма малых постоянных времени (5.179) составит на основании формул (5.127) и (5.17)

Отсюда можно получить требование к периоду дискретности системы с астатизмом первого порядка:

В этих формулах — заданное значение дисперсии ошибки, - дисперсия скорости изменения входного сигнала, — сумма постоянных времени объекта управления.

Для случая, соответствующего рис. 5.5, в, аналогичным образом можно получить формулу для периода дискретности системы с астатизмом второго порядка:

где — дисперсия ускорения задающего воздействия.

Наконец, для случая, изображенного на рис. который соответствует системе с астатизмом первого порядка, но имеет более благоприятные условия для выбора периода дискретности, получается с учетом формулы (5.131)

Все эти формулы показывают, что период дискретности должен быть тем меньше, чем большие скорости и ускорения действуют на входе системы, чем выше требуется точность воспроизведения полезного сигнала и чем больше эквивалентная сумма постоянных времени объекта. Получение отрицательных значений для периода дискретности показывает, что задача не имеет решения в рамках принятых исходных данных.

Условия, ограничивающие выбор периода дискретности, могут быть получены и для систем с экстраполяторами первого порядка.