§ 4.7. Использование оптимальных фильтров Калмана в системах управления

При использовании оптимальной калмановской фильтрации в цифровых системах управления возможны два подхода.

Если нет особых ограничений на период дискретности, используемой в системе ЦВМ в части его минимального значения, то представляется возможным выбрать период дискретности настолько малым, что вся система может рассматриваться как непрерывная. В этом случае можно использовать непрерывный вариант оптимального фильтра, который и должен быть реализован в цифровой автоматической системе. Условия, определяющие возможность такого подхода, были сформулированы в начале § 4.4.

Если период дискретности не может быть принят достаточно малым и приходится учитывать его влияние, то должен рассматриваться дискретный вариант оптимального фильтра с его последующей реализацией в цифровой автоматической системе. Заметим, что в этом случае результаты могут быть получены хуже, чем в первом случае. Качество дискретного фильтра иногда можно улучшить, если освободиться от ограничения, накладываемого на число удерживаемых в памяти ЦВМ дискрет входного сигнала. Это число определяется в фильтрах Калмана порядком уравнения, описывающего формирующий фильтр. При увеличении этого числа возможно введение дополнительной обработки входных сигналов, приближающей свойства дискретного фильтра к свойствам непрерывного, но без уменьшения периода дискретности.

При использовании непрерывных фильтров следует иметь в виду, что схема, изображенная на рис. 4.15,

лишь определяет уравнения оптимального фильтра. Практически она не может быть реализована, так как содержит нереальные интеграторы с передаточной функцией

В реальных интеграторах непрерывного или дискретного действия передаточная функция может быть записана в виде

где — некоторый коэффициент передачи, который не может быть равен безразмерной величине. Так, если входная и выходная величины интегратора имеют одинаковую физическую размерность (напряжения, токи, цифровые коды и т. то передаточная функция интегратора

где — некоторая величина, имеющая размерность времени (постоянная времени интегратора). Поэтому схема на рис. 4.15 должна рассматриваться только как исходная. При реализации она должна быть трансформирована к виду, поддающемуся практическому осуществлению и являющемуся эквивалентным исходной схеме. Правила преобразования схемы остаются здесь обычными. Само преобразование имеет целью приблизиться к структуре используемых в системе управления блоков и элементов.

Так, например, если оптимальный фильтр строится как счетно-решающая схема, выполняющая функции выработки информации о задающем воздействии и не содержащая объекта управления, то в ней могут быть использованы однотипные интеграторы. Реализуемая схема такого оптимального фильтра изображена на рис. 4.31. В схеме предусмотрены следующие изменения, которые целесообразно ввести в реальную систему:

1. В схеме предусматривается использование реальных интеграторов с передаточными функциями (4.226).

2. Ошибки измерения учитываются после элемента сравнения, что приводит к обычному виду замкнутой системы.

3. В схему введены чувствительные элементы, измеряющие совокупность ошибок отработки задающего

воздействия На выходе чувствительных элементов будет существовать совокупность сигналов ошибок

где — диагональная матрица коэффициентов передачи чувствительных элементов размером

Рис. 4.31. Реализуемая схема непрерывного оптимального фильтра.

Введение реальных интеграторов и чувствительных элементов изменяет другие матрицы. Матрица коэффициентов передачи в обратной связи и матрица коэффициентов усиления Уравнение оптимального фильтра (4.146) можно привести здесь к виду

Уравнение (4.228) полностью адекватно уравнению (4.146) и может использоваться наравне с ним. Это же относится и к схеме, изображенной на рис. 4.31, которая отличается от схемы на рис. 4.15 только реализацией, но описывается одинаковыми уравнениями. Элементы матрицы представляют собой безразмерные числа. Соответствующим выбором переменных состояния во многих случаях можно сделать элементы матрицы безразмерными числами (в стационарных системах — безразмерными единицами). Тогда будут безразмерными элементы матрицы произведения При этом элементы матрицы коэффициентов усиления системы с разомкнутой главной и местной обратными связями, представляющей собой произведение будут иметь размерность, обратную размерности времени.