§ 3.6. Расчет установившихся ошибок в линеаризованных ЦАС

Замкнутая ЦАС может находиться под воздействием случайного задающего сигнала и случайного возмущающего воздействия приложенного в произвольной точке системы (рис. 3.10). Будем считать, что оба сигнала соответствуют случайным стационарным процессам,

В простейшем случае, когда возмущающее воздействие отсутствует, спектральная плотность ошибки

где — спектральная плотность задающего воздействия, — частотная передаточная функция замкнутой системы для ошибки, — частотная передаточная функция разомкнутой системы. Интегрирование (3.109) в бесконечных пределах дает дисперсию ошибки

Спектральная плотность выходной величины

где — частотная передаточная функция замкнутой системы.

Интегрирование (3.111) в бесконечных пределах дает дисперсию управляемой величины, рассматриваемой в дискретные моменты времени

Для случая, когда возмущающее воздействие приложено на входе ЦАС (рис. 3.10, б), запишем значения ошибки для двух дискретных моментов времени

где — приведенные весовые функции замкнутой системы для выходной величины у и ошибки связанные.

соответственно, -преобразованием с передаточными функциями Перемножив (3.113) и (3.114) и произведя действия, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (3.90) и (3.91), получим выражение для корреляционной функции ошибки в установившемся режиме:

где — корреляционная функция задающего воздействия, — корреляционная функция возмущающего воздействия, — взаимные корреляционные функции. Из (3.115) может быть найдена дисперсия, если положить

Из формулы (3.115) может быть получено выражение для спектральной плотности ошибки посредством использования тех же операций, которые были сделаны при выводе формулы (3.99):

Переход к псевдочастотам дает

Интегрирование последнего выражения в бесконечных пределах дает дисперсию ошибки

В частном случае, когда сигналы некоррелированы, Тогда формула для корреляционной функции ошибки (3.115) упрощается:

Также упрощаются формулы (3.117) и (3.118) для спектральной плотности. Запишем спектральную плотность как функцию частоты:

Другой возможный случай приложения возмущающего воздействия в ЦАС изображен на рис. 3.10, в. Здесь можно перенести возмущающее воздействие как это показано на рис. 3.10, в, на выход. При этом эквивалентное воздействие на выходе

Если известна спектральная плотность возмущающего воздействия то спектральная плотность эквивалентного воздействия на выходе

По спектральной плотности может быть найдена корреляционная функция эквивалентного воздействия Далее может быть получена корреляционная функция решетчатого сигнала К» подстановкой и спектральная плотность (см. § 3.3 и § 3.4).

Дальнейший расчет близок к изложенному выше для случая, изображенного на рис. 3.10, а. Разница будет заключаться в том, что для воздействия должна использоваться та же передаточная функция или которая справедлива для задающего воздействия.

Рассмотрим только случай отсутствия корреляционной связи между и Тогда спектральная плотность ошибки

Далее по формуле (3.118) может быть найдена дисперсия ошибки