ГЛАВА 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦИФРОВЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

§ 3.1. Вводные замечания

Непрерывная случайная величина изменяющаяся во времени называется случайным или стохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая а множество возможных кривых так же как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокупностью (множеством) возможных значений. Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.

Рис. 3.1. Непрерывный случайный процесс.

Случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными характеристиками. В каждый момент времени ( рис. 3.1,а) наблюдаются случайные величины каждая которых имеет свой закон распределения. Поскольку это непрерывная случайная величина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности.

Обозначим закон распределения (плотность вероятности) для всех этих отдельных случайных величин. В общем случае он меняется с течением времени. Для каждого данного в отдельности будет свой закон распределения и т. д., причем для каждого из них

Для каждого заданного момента времени можно найти характеристики случайных величин. В результате будем иметь среднее по множеству (математическое ожидание), или момент первого порядка,

и дисперсию (центральный момент второго порядка)

Кроме характеристик которые для каждого данного момента времени являются средними по множеству, вводится понятие среднего по времени значения случайной величины х для отдельной реализации случайного процесса которое определяется из выражения

Для того чтобы установить связь между возможными значениями случайной функции в последующие моменты времени со значениями в предыдущие моменты, вводится понятие двумерной плотности вероятности

смысл которого можно пояснить следующим образом. Вероятность того, что в момент времени величина х находится в интервале а в момент времени — в интервале будет Это есть вероятность того, что кривая пройдет вблизи двух заданных точек

Вводится также -мерная плотность вероятности

Если ее умножить на то это будет вероятность того, что кривая пройдет вблизи заданных точек. Таким образом, случайный процесс определяется видом функций и связью между ними.

Введем понятие чисто случайного процесса. В таком процессе все значения случайной величины в отдельные моменты времени в момент в момент не зависят друг от друга. Тогда появления значений будут независимыми случайными событиями, для которых вероятность их совместного наступления равна, как известно, произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности. Следовательно, для чисто случайного процесса

Эти наиболее простые соотношения в теории случайных процессов могут применяться для характеристики некоторых видов помех (чисто случайные хаотические помехи).

Для характеристики полезных входных сигналов систем управления соотношения (3.4) и (3.5) практически не могут применяться, так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моменты времени. В этом случае вместо формулы (3.4) следует записать

где — условная вероятность того, что случайный процесс пройдет вблизи точки если он уже прошел через точку Следовательно, зная плотности вероятности можно найти также и условную плотность вероятности

Кроме того, имеет место следующая связь между основными плотностями вероятности:

так как есть плотность вероятности случайной величины безотносительно к тому, какое потом

будет значение т. е. допускается Аналогичным образом, любая плотность вероятности низшего порядка всегда может быть получена из высшей, т. е. высшие плотности вероятностей содержат наибольшее количество информации о случайном процессе (о взаимосвязях между возможными значениями случайной величины х в различные моменты времени).

Рис. 3.2. Стационарный непрерывный случайный процесс.

Стационарным случайным процессом в строгом (широком) смысле называется такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностей не меняются при любом сдвиге рассматриваемого участка процесса во времени. Так как отсюда вытекает независимость одномерной плотности вероятности от времени , то получается, что вдоль всего случайного процесса. Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от общего случая (рис. 3.1, б), будет прямая (рис. 3.2). Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном процессе, определяемое условием также будет одинаковым на любых отрезках времени.

Для стационарных процессов в узком смысле только двумерная плотность вероятности будет одна и та же для одного и того же промежутка времени между любыми и 4 (рис. 3.2), т. е.

при этом одномерная плотность вероятности не зависит от времени.

Задание всех этих функций плотности вероятности определяет случайный процесс. Однако более удобно иметь дело с некоторыми осредненными характеристиками процесса.

Для так называемого эргодического стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е.

практически достоверно), всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности Из этого вытекает, что длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее по времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству).

Для многих стационарных процессов существует математическое доказательство этого свойства. Тогда оно сводится к эргодической теореме. Для некоторых процессов эргодичность считают очевидной и тогда используют эргодическую гипотезу.

Итак, среднее значение (математическое ожидание) для эргодического стационарного процесса

Рис. 3.3. Образование решетчатого случайного процесса.

Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков — дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. п.

Эргодические свойства позволяют сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Это дает возможность для определения и т. п., вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство эргодического стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями.

В большинстве встречающихся в практике случаев дискретные во времени случайные процессы (случайные

решетчатые функции) могут быть получены из непрерывных их дискретизацией (рис. 3.3). Таким образом, случайная решетчатая функция может быть определена в виде

Совокупность случайных решетчатых функций образует случайный решетчатый процесс, который может быть как стационарным, так и нестационарным. Для стационарного решетчатого случайного процесса практически всегда сохраняется свойство эргодичности.

Среднее значение по множеству (математическое ожидание) может определяться по общей формуле

В случае стационарного процесса

Аналогичным образом могут вычисляться начальные и центральные моменты более высоких порядков.

Среднее по времени значение случайной решетчатой функции

Для эргодического стационарного процесса с вероятностью единица имеет место равенство