Типовые передаточные функции при использовании дискретной коррекции.

Использование корректирующих алгоритмов в ЦВМ приводит к появлению некоторые

особенностей в типовых передаточных функциях разомкнутых систем. Эти особенности сводятся к следующему.

Поскольку результирующая передаточная функция разомкнутой системы представляет собой произведение

где — передаточная функция непрерывной части, — передаточная функция ЦВМ, то может иметь место полное несоответствие друг другу функций Поэтому передаточной функции или не может быть поставлена в соответствие какая-либо передаточная функция непрерывной части, аналогично тому как это было сделано в таблицах 5.3 и 5.4, а также на рис. 5.33.

Частотная передаточная функция непрерывной части цифровой системы управления имеет обычно равные степени псевдочастоты в числителе и знаменателе. Поэтому высокочастотная асимптота л. а. х. имеет нулевой наклон. Это нашло отражение на рис. 5.33, на котором все типовые л. а. х. цифровых систем имеют нулевой наклон высокочастотной асимптоты.

Для частотной передаточной функции это условие не является обязательным. Помимо случаев, когда степени псевдочастоты в числителе и знаменателе равны, могут быть случаи большей степени в знаменателе Это будет при использовании в ЦВМ корректирующих программ, соответствующих введению интегратора (или интеграторов) с передаточными функциями

и апериодического звена (или звеньев) с передаточными функциями

Так как для типового перехода оси нуля децибел нужен единичный наклон асимптоты, то типовые передаточные

функции, соответствующие формуле (5.188), могут иметь единичный наклон высокочастотной асимптоты. Это не исключает возможности использования типовых передаточных функций таблиц 5.3 и 5.4. Таким образом, типовые передаточные функции при использовании дискретной коррекции могут приводить к л. а. х. с единичным наклоном высокочастотной асимптоты.

В таблице 5.5 приведены типовые передаточные функции цифровых систем с экстраполяторами нулевого порядка для тех случаев, когда объект управления в высокочастотной области сводится к совокупности звеньев с малыми постоянными времени (меньшими, чем половина периода дискретности). Эквивалентная сумма малых постоянных времени, которая должна учитываться при определении запаса устойчивости, составляет

где — сумма малых постоянных времени объекта, — временное запаздывание в канале управления. Вся низко- и среднечастотная часть передаточной функции формируется при этом в цифровой части системы. При составлении передаточных функций таблицы 5.5 предполагалось, что выбран максимальный возможный период дискретности так, что выполняются неравенства где — постоянные времени, относящиеся к объекту управления. Если выбрать период дискретности таким образом не представляется возможным, то при его уменьшении могут появиться дополнительные изломы л. а. х. правее частоты среза.

Сравнение формул (5.193) и (5.179) показывает, что в системах с дискретной коррекцией допустимое максимальное значение периода дискретности в два раза меньше тех значений, которые даются формулами (5.184) — (5.186). При использовании л. а. х. «несимметричного» вида введение дискретных корректирующих звеньев, формирующих низкочастотную часть передаточной функции, возможно получение двойного наклона высокочастотной асимптоты л. а. х.

Во всех рассмотренных случаях вид л. а. х. в высокочастотной области обычно не имеет практического значения и дело сводится только к учету суммы малых постоянных времени.

(кликните для просмотра скана)

Учет случайности периода дискретности. Период дискретности может изменяться случайным образом от такта к такту. Общие сведения по этому вопросу были приведены в 3.11. Случайность периода дискретности в принципе может вызвать нарушение условий устойчивости и изменение динамических свойств системы управления по сравнению с тем, когда период дискретности постоянен или когда при расчете он принимается постоянным и равным его математическому ожиданию.

Рассмотрим типовые л. а. х. (таблица 5.3), в которых используется непрерывная коррекция. Так как их низкочастотные части практически не зависят от периода дискретности, то учет его случайности необходимо делать только для высокочастотных частей. Как следует из таблицы 5.3, высокочастотные части частотных передаточных функций могут быть представлены одинаково для л. а. х. всех типов:

где — частота среза. Высокочастотная часть передаточной функции практически не влияет на точность работы системы управления, но может повлиять на ее динамические свойства и, в частности, на запас устойчивости, который оценивается в типовых передаточных функциях по показателю колебательности. Поэтому следовало бы найти математическое ожидание показателя колебательности замкнутой системы. Однако сделать это весьма трудно, так как для передаточных функций более или менее сложного вида нет прямых зависимостей, позволяющих рассчитать показатель колебательности при известных параметрах. Поэтому приходится использовать косвенный путь. Так как показатель колебательности есть одно из свойств передаточной функции замкнутой системы, то можно попытаться определить математическое ожидание этой передаточной функции

где — плотность вероятности. Так как эта формула

оказывается обычно слишком сложной, то целесообразно использовать прием, изложенный в § 3.11. Тогда

где — математическое ожидание периода дискретности, — его дисперсия.

Для рассматриваемого случая можно еще упростить задачу, используя то обстоятельство, что в высокочастотной области для частот имеет место неравенство Поэтому для этой области

Математическое ожидание

Дифференцирование формулы (5.194) дает

Множитель, находящийся в фигурных скобках, представляет собой дополнительную передаточную функцию, определяемую случайностью периода дискретности. Формулу (5.196) можно представить в виде

Дополнительная передаточная функция может вызвать появление дополнительных фазовых сдвигов и увеличение модуля основной передаточной функции в соответствии с выражениями

Влияние дополнительной передаточной функции может быть учтено при известных параметрах и численным расчетом и построением частотных характеристик по результирующей передаточной функции (5.196). Оценка этого влияния может быть сделана следующим образом.

Анализ выражения (5.196) показывает, что дополнительная передаточная функция вносит в районе частоты среза л. а. х. положительные фазовые сдвиги. Это не может ухудшить запаса устойчивости. Однако она вызывает подъем усиления на высоких частотах, что может снизить запас устойчивости и даже привести к неустойчивости. Как следует из рис. 5.32, в высокочастотной области существует ограничение для подъема усиления, определяемое принятым показателем колебательности. На рис. 5.32 показана высокочастотная часть типовых л. а. х., ограничение для подъема усиления и подъем усиления, вносимый дополнительной передаточной функцией.

Расчеты показывают, что максимум подъема усиления расположен в сравнительно высокочастотной области и он не превосходит значения

Достаточное условие сохранения принятого при расчете показателя колебательности в соответствии с рис. 5.32 имеет вид

Из этих неравенств можно получить условие, ограничивающее дисперсию периода дискретности:

При выполнении этого условия запас устойчивости в системе не меняется при переходе от к случайному периоду дискретности с математическим ожиданием Условие (5.198) оказывается сравнительнд легким и выполняется практически всегда.

Полученные формулы справедливы при Случай требует более точного исследования. Если в формуле (5.194) положить то передаточная функция замкнутой системы в области высоких частот будет

Дифференцирование этого выражения, аналогично проделанному выше, дает дополнительную передаточную функцию

В этом случае, как следует из рис. 5.32, любой подъем усиления в области высоких частот будет сопровождаться снижением запаса устойчивости. Более подробно этот случай был рассмотрен в § 3.11. Однако он имеет мало практического значения, так как условие в реальных системах никогда не выполняется.

При выполнении условия учет случайности периода дискретности теряет практический смысл, так как период дискретности оказывает слабое влияние на динамику системы управления, которая по своим свойствам приближается к непрерывной системе.

Рассмотрение типовых л. а. х. при использовании дискретной коррекции (таблица 5.5) приводит к примерно аналогичным результатам, что указывает на сравнительно слабое влияние случайности периода дискретности на динамические свойства системы управления при использовании типовых передаточных функций.