§ 2.8. Построение логарифмических частотных характеристик

Передаточная функция разомкнутой ЦАС может быть представлена в виде произведения дискретных передаточных функций ЦВМ и непрерывной части, т. е. Здесь будет рассмотрено построение логарифмических частотных характеристик непрерывной части амплитудной и фазовой Построение логарифмических частотных характеристик ЦВМ будет рассмотрено ниже, в главе 5.

Построение логарифмических характеристик наиболее удобно делать в функции абсолютной псевдочастоты, которая определяется формулой (2.190). Целесообразно строить характеристики раздельно для области низких частот и для области высоких частот

В области низких частот передаточная функция непрерывной части ЦАС в соответствии с § 2.3 может быть представлена в виде

где — порядок экстраполятора, — некоторые коэффициенты. Для малых частот приближенное выражение для передаточной функции можно найти следующим образом:

где весовая функция непрерывной части с учетом суммарного запаздывания.

Таким образом, для низких частот частотная передаточная функция практически совпадает с точностью до множителя с частотной передаточной функцией исходной непрерывной части. Так как для этих частот псевдочастота также практически совпадает с действительной частотой, , то частотные характеристики можно с одинаковым успехом строить как в функции , так и в функции К.

Следовательно, для низких частот построение л. а. х. и л. ф. х. сводится, по сути дела, к построению логарифмических характеристик исходной непрерывной части

с добавлением множителя

Проиллюстрируем теперь это положение для непрерывной части системы, описываемой, например, передаточной функцией соответствующей астатизму второго порядка,

с экстраполятором нулевого порядка. Примем, что все постоянные времени знаменателя (2.214) дают сопрягающие частоты, меньшие чем , т. е. Это предположение сводится к тому, что все изломы асимптотической л. а. х., соответствующей (2.214), расположены в низкочастотной области, для которой справедливо неравенство

Разложим (2.214) на простые дроби:

где — коэффициент разложения, а постоянная времени

На основании (2.136) дискретная передаточная функция разомкнутой системы в области низких частот

где — общий коэффициент передачи непрерывной части с учетом преобразователей,

Перейдем к дискретной частотной передаточной функции заменой на и по (2.187) и . В результате получим

Так как было принято, что то

откуда получаем

Сравнение последнего выражения с (2.215) показывает, что частотные передаточные функции в низкочастотной области совпадают с точностью до множителя Так как было принято, что то влияние дополнительного множителя в (2.219) можно не учитывать при построении л. а. х. в низкочастотной области.

Совпадение логарифмических частотных характеристик для дискретной передаточной функции и для исходной передаточной функции непрерывной части в области

низких частот дает большие удобства в формировании низкочастотной части л. а. х. проектируемой системы и позволяет ориентироваться на методику, используемую для непрерывных систем.

Рассмотрим построение логарифмических частотных характеристик в области высоких частот при Введем следующие ограничения.

1. Величина, обратная периоду дискретности Т, больше половины частоты среза л. а. х. непрерывной части системы, т. е. При расчете систем с ЦВМ это неравенство приходится выполнять практически во всех случаях в связи с требованиями по устойчивости и запасу устойчивости.

2. Если рассматривать передаточную функцию непрерывной части в виде

где — общий коэффициент усиления, степень астатизма, то все постоянные времени можно разделить на две группы. К первой группе, отнесем те из них, которым соответствуют сопрягающие частоты меньше 271-1 (большие постоянные времени). Они участвуют в формировании низкочастотной части логарифмических характеристик в соответствии с изложенным выше.

Ко второй группе, отнесем те постоянные времени, которым соответствуют сопрягающие частоты, большие чем (малые постоянные времени), причем для каждой постоянной времени второй группы должно выполнятся неравенство . Случай комплексных полюсов (2.220) рассмотрим ниже отдельно.

3. Постоянным времени соответствуют сопрягающие частоты, меньшие частоты и они участвуют в формировании низкочастотной части логарифмических характеристик. Это требование не относится к тем постоянным времени числителя (2.220), которые были введены для компенсации в непрерывной части некоторых полюсов

передаточной функции и поэтому после сокращения одинаковых множителей не вошли в окончательное выражение (2.220).

4. Пересечение вертикальной прямой асимптотической л. а. х. непрерывной части происходит при отрицательных наклонах 20 дБ/дек и 40 дБ/дек. Эти случаи будут рассмотрены отдельно.

Рис. 2.28. Л. а. х. непрерывной части ЦАС с экстраполятором нулевого порядка.

Рассмотрим сначала случай, когда пересечение вертикальной линий асимптотической л. а. х. непрерывной части происходит при отрицательном наклоне (рис. 2.28, а). Тогда в области высоких частот передаточная функция непрерывной части может быть представлена в виде

Здесь представляет собой базовую частоту высокочастотной части л. а. х., определяемую как частота пересечения ее первой асимптоты с осью нуля децибел. Базовая частота определяется выражением

причем должно выполняться, условие

На рис. 2.28, а показано, что базовая частота совпадает с частотой среза Однако это не является обязательным, что иллюстрирует рис. 2.29, где Лишь при соответствующем увеличении общего коэффициента усиления, что соответствует подъему всей л. а. х.,

Рис. 2.29. Пример л. а. х. непрерывной части ЦАС.

При несовпадении все изложенное ниже сохраняет свою силу. При отсутствии временного запаздывания

где по-прежнему определяется формулой (2.221).

Аналогично предыдущему найдем дискретную передаточную функцию переходом к псевдочастоте по формулам (2.187) и (2.190):

Так как то можно положить

Учитывая, что

получаем в результате

Это выражение и может быть использовано для построения л. а. х.

Начало л. а. х. в высокочастотной области сливается с концом л. а. х. в низкочастотной области в точке (рис. 2.28, а).

Результирующее выражение для дискретной частотной передаточной функции имеет вид

Результирующий фазовый сдвиг равен

В районе частоты среза можно считать с достаточной точностью, что

В результате при построении высокочастотного «хвоста» л. а. х. приходится учитывать сумму малых постоянных времени и дополнительный множитель Последний приводит на высоких частотах к нулевому наклону л. а. х. и дает дополнительный фазовый сдвиг в отрицательную сторону, равный

При учете дополнительного временного запаздывания результирующая передаточная функция может быть найдена на основании формул (2.138) и (2.139). Более Простые зависимости могут быть получены из приближенных выражений (2.131) и (2.132).

Рассмотрим формулу (2.132). В дополнительном множителе правой части перейдем к псевдочастоте

Тогда при наличии временного запаздывания результирующая частотная передаточная функция непрерывной части будет иметь вид

где — частотная передаточная функция непрерывной части при определяемая (2.227). При дополнительный множитель (2.231) обращается в единицу, а при он будет равен

При запаздывании т. е. при где — целая и — дробная часть запаздывания, кроме множителя (2.229) в формулу (2.230) должен быть введен дополнительный множитель

Если пересечение вертикальной линии асимптотической л. а. х. непрерывной системы происходит с наклоном (рис. 2.28, б), то в области высоких

частот вместо (2.223) имеем

Здесь определяется формулой

причем должно выполняться условие Перейдем к дискретной передаточной функции:

Дискретная частотная передаточная функция

Так как то можно положить

Тогда

Здесь

Это выражение и должно использоваться для построения высокочастотной части л. а. х. и л. ф. х. На частоте происходит сопряжение низкочастотной и высокочастотной частей характеристик (рис. 2.28, б).

Результирующее выражение для частотной передаточной функции разомкнутой системы, которым можно пользоваться для построения л. а. х. и л. ф. х. во всех частотных областях, имеет вид

Фазовый сдвиг для передаточной функции (2.238) равен

При наличии запаздывания необходимо учесть введенные выше дополнительные множители.

Экстраполяторы первого порядка.

Построение высокочастотной части логарифмических характеристик рассматривается применительно к дискретной передаточной функции разомкнутой ЦАС, определяемой в соответствии с формулой (2.143).

В случае, когда асимптотическая л. а. х. непрерывной части системы пересекает вертикальную прямую асимптотой, имеющей наклон передаточная функция непрерывной части для частот может быть записана в виде (2.221) и при отсутствии временного запаздывания — в виде (2.223). Для второго случая дискретная передаточная функция имеет вид

Здесь

Переходя к псевдочастоте, получаем дискретную частотную передаточную функцию разомкнутой системы для области высоких частот

При получении приближенного выражения учтено, что Поэтому Результирующая дискретная частотная передаточная функция, справедливая для всех псевдочастот, может быть записана в виде

где Результирующий фазовый сдвиг равен

В районе средних частот (в районе частоты среза) приближенное выражение для фазового сдвига может быть представлено в виде

Сравнение последнего выражения с (2.239) показывает, что в системах с экстраполятором первого порядка эквивалентная сумма малых постоянных времени равна

действительной сумме тогда как в системах с экстраполятором нулевого порядка она равна

Вместе с тем, как следует из (2.241), граница, разделяющая области низких и высоких частот, оказывается сдвинутой в сторону более низких частот и составляет Это поясняет рис. 2.30, на котором построены высокочастотные части л. а. х. при (рис. 2.30, и) и при (рис. 2.30, б).

Рис. 2.30. Высокочастотные части л. а. х. ЦАС с экстраполятором первого порядка.

Для случая, когда вертикальная прямая пересекается асимптотой имеющей наклон передаточная функция в высокочастотной области представляется формулой (2.233) (при условии

где — базовая частота, определяемая (2.234).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что дискретная передаточная функция в этом случае равна

Полное выражение для дискретной частотной передаточной функции при наличии астатизма порядка:

Фазовый сдвиг равен

В районе частоты среза приближенное выражение для фазового сдвига может быть записано в виде

Из уравнений (2.249) и (2.239) следует, что и в этом случае эквивалентная сумма малых постоянных времени составляет вместо значения которое имело место в цифровых системах с экстраполятором нулевого порядка. Граничная частота, разделяющая области высоких и низких частот, также уменьшилась до значения

В частном случае что соответствует формула (2.246) приобретает вид

Этому случаю соответствует рис. 2.30, в. Другой случай, когда постоянная времени достаточно велика и трехчлен в числителе (2.246) разлагается приближенно

на множители

изображен на рис. 2.30, г.

Не представляет труда распространить изложенную методику построения высокочастотной части логарифмической характеристики и на иные случаи пересечения прямой асимптотической л. а. х. непрерывной части.