§ 2.9. Передаточные функции многомерных ЦАС

Цифровая автоматическая система может быть предназначена для управления многомерным объектом, который характеризуется наличием нескольких точек приложения управляющих воздействий и нескольких управляемых величин.

Рис. 2.32. Многомерная система.

Рассмотрим эту задачу применительно к наиболее вероятному случаю, когда число управляемых величин и число управляющих воздействий одинаково. При этом будем предполагать, что управление многомерной системой осуществляется от одной ЦВМ, работа отдельных каналов синхронизирована и период дискретности для каждого канала один и тот же.

Схема подобной системы изображена на рис. 2.32. Величины соответствуют задающим воздействиям

управляемым величинам, ошибкам. Пусть изображения задающих воздействий будут где т. Здесь смещения характеризуют временной сдвиг в работе синхронных импульсных элементов каждого канала. Выбором начала отсчета времени можно сделать временное смешение одного из канала, например первого, равным нулю.

Изображения выходных величин и ошибок необходимо определять для тех же временных смещений т. е. рассматривать изображения

Непрерывная часть системы характеризуется матрицей передаточных функций

Передаточная функция дает связь между управляемой величиной и управляющим воздействием. Этой матрице соответствует матрица дискретных передаточных функций непрерывной части

В разомкнутой системе, когда все главные обратные связи разомкнуты, связь между изображениями входных и выходных величин при нулевых начальных условиях можно представить в виде

Здесь — дискретные передаточные функции ЦВМ соответствующего канала, — дискретные передаточные функции разомкнутых каналов При этом предполагается, что линеаризованные коэффициенты передачи

устройств ввода и вывода присоединены к непрерывной части ЦАС.

Вводя уравнения замыкания можно получить систему уравнений, которую представим в сокращенной записи:

Решение этой системы уравнений для изображения ошибки будет

Передаточные функции для ошибки замкнутой системы могут быть представлены в виде

Здесь главный определитель находится из левых частей системы уравнений (2.273):

Минор находится из определителя (2.276) при зачеркивании столбца и строки. Матрица дискретных передаточных функций для ошибок в замкнутой системе имеет здесь вид

Матрица дискретных передаточных функций замкнутой системы может быть получена вычитанием матрицы из единичной матрицы размером

Матрица передаточных функций замкнутой

системы дает связь между изображениями управляемых величин и задающих воздействий для нулевых начальных условий. При этом необходимо иметь в виду, что все полученные передаточные функции зависят от смещений что не отра жено в приведенных выше формулах для сокращения записи.

Характеристическое уравнение замкнутой многомерной системы получается приравниванием нулю главного определителя: При размыкании главной обратной связи одного канала и при замкнутых других каналах может быть получена передаточная функция разомкнутой системы для канала:

Эта передаточная функция может быть использована для определения динамических свойств системы управления (устойчивости, запаса устойчивости, точностных показателей по основному входу и т. п.) методами, которые основаны на исследовании передаточных функций разомкнутых систем, в том числе частотными методами. В последнем случае должна быть найдена частотная передаточная функция разомкнутой системы или

Пример 2.5. Найдем передаточные функции для двумерной системы с антисимметричными перекрестными связями в предположении, что влиянием временных сдвигов в каналах можно пренебречь, т. е. можно положить Матрица передаточных функций непрерывной части (2.270) дана в виде

Для случая экстраполятора нулевого порядка и учитывая, что имеем матрицу дискретных передаточных функций разомкнутой системы

Главный определитель системы

Матрица передаточных функций для ошибок из (2.275) и (2.277)

Матрица передаточных функций замкнутой системы:

Передаточные функции при разомкнутом одном канале:

При расчете устойчивости можно исходить из характеристического уравнения . В рассматриваемом примере можно воспользоваться методом расчета устойчивости двумерных систем [8], из которого следует, что амплитудно-фазовая характеристика изолированного разомкнутого канала не должна охватывать точки на комплексной плоскости с координатами

Частотная передаточная функция изолированного канала здесь равна

Амплитудно-фазовая характеристика для этого случая была построена на рис. 2.26, а и Ь. Из нее следует условие устойчивости