ГЛАВА 6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В ЦАС, ВЫЗВАННЫЕ КВАНТОВАНИЕМ ПО УРОВНЮ

§ 6.1. Приближенный расчет симметричных периодических режимов при учете одного квантующего элемента

В цифровых автоматических системах входные и выходные преобразователи имеют нелинейную характеристику вида, изображенного на рис. 2.3. Поэтому в общем случае расчет периодических режимов должен предусматривать учет двух нелинейностей, разделенных фильтрами. Структурная схема системы изображена на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Схема замкнутой ЦАС.

Она содержит объединенный входной преобразователь и выходной преобразователь Непрерывная часть системы определяется передаточной функцией а экстраполятор Э имеет нулевой порядок. Передаточные функции фильтров, разделяющих нелинейные звенья, равны

Однако возможны случаи, когда при расчете должен учитываться один нелинейный элемент, например входной преобразователь. Первый случай возникает при равенстве передаточной функции ЦВМ единице, т. е. при Тогда нелинейные характеристики входного и выходного преобразователей могут быть объединены в одну нелинейную характеристику. Это показано на рис. 2.3, е.

Второй случай соответствует реализации в ЦВМ корректирующих программ

которые характеризуются использованием коэффициентов представляющих сабой целые числа. Тогда никакого округления в выходном преобразователе происходить не будет и квантующий эффект по уровню будет иметь только входной преобразователь.

Ограничиваясь пока наличием в ЦАС одного нелинейного элемента (например, входного преобразователя), рассмотрим условия существования в них периодических режимов при на основе метода гармонической линеаризации.

Рис. 6.2. Нормированная характеристика квантующего элемента при согласованном положении.

Согласно методу гармонической линеаризации приближенное уравнение периодического режима можно представить в виде

Здесь — коэффициент гармонической линеаризации входного или выходного преобразователя цифровой вычислительной машины (рис. 6.2) по первой гармонике при учете квантования по времени. Коэффициент зависит не только от амплитуды на входе нелинейного элемента но и от фазы входного воздействия и частоты воздействия где — относительный полупериод. Следовательно, Величина является функцией частоты воздействия. Эту величину можно также представить как функцию относительного полупериода входного воздействия, т. е.

Уравнение периодического режима (6.2) может быть записано в следующем виде:

или

Частота периодического режима находится в целочисленном соотношении с частотой выдачи данных ЦВМ, равной Это позволяет заранее знать все возможные частоты периодических режимов.

Обычный способ расчета периодических режимов заключается в совместном рассмотрении годографов комплексных величин и Точка пересечения для заданного значения определяет амплитуду и фазу периодического решения. Это показано на рис. 6.3.

Рис. 6.3. К определению периодических режимов.

Возможно использование и других методов расчета периодических режимов, например по кривой Михайлова.

Вместо частотной передаточной функции при расчете периодических режимов может использоваться передаточная функция по псевдочастоте Во многих случаях это оказывается более удобным. Тогда вместо (6.3) и (6.4) будем иметь

или

Псевдочастота к связана с круговой частотой соотношением

При псевдочастота , при соответственно, при приближенно можно положить, что .

В соответствии с известной методикой определения периодических режимов [142] необходимо найти коэффициент гармонической линеаризации для нелинейной зависимости изображенной на рис. 6.2, а. В этом случае входной и выходной сигналы представляются в виде

где — комплексные амплитуды, если нечетно, и если четно. Комплексные амплитуды для входного сигнала определяются выражением

Комплексные амплитуды для выходного сигнала в случае симметричной нелинейной характеристики определяются выражением

Если нечетно, то при

Как следует из метода гармонической линеаризации, можно ограничиться в (6.9) учетом лишь первой гармоники, т. е. использовать гипотезу фильтра. Коэффициент гармонической линеаризации для первой гармоники

Обратная величина, взятая с обратным знаком,

Для системы управления с ЦВМ определение периодических режимов при может быть произведено точно. Рассмотрим действующее на входе нелинейного преобразователя гармоническое воздействие

Здесь комплексная амплитуда Для случая из формул (6.12) и (6.9) можно получить

где Коэффициент гармонической линеаризации

Для случая аналогичным образом из формул (6.11) и (6.9) можно получить

Комплексная амплитуда

Коэффициент гармонической линеаризации

При можно определить приближенное значение учитывая только первую гармонику:

Комплексная амплитуда

Коэффициент гармонической линеаризации

Сложность выражений для коэффициентов гармонической линеаризациии приводит к значительной трудоемкости определения периодических режимов в системе управления с ЦВМ.

Однако при постановке задачи синтеза обычно не ставится вопрос об отыскании периодических режимов.

Наоборот, может быть поставлена задача так синтезировать систему регулирования с ЦВМ, чтобы исключить возможность возникновения периодических режимов в согласованном положении.

Рис. 6.4. Зона расположения годографов нелинейного элемента.

Рассмотрим возможность возникновения периодических режимов при использовании типовых л. а. х. симметричного или несимметричного вида (см. § 5.3). Так как мы рассматриваем нормированную нелинейную характеристику преобразователя (рис. 6.2), то коэффициент передачи ЦВМ совместно с входным и выходным преобразователями будем считать присоединенным к линейной части системы. В работе [128] показано, что для выходных преобразователей с числом разрядов (в последнем случае статическая характеристика, изображенная на рис. 6.2, соответствует линейной характеристике с насыщением) все возможные годографы величины — заключены в секторе (рис. 6.4), угол раствора которого

Периодические режимы в системе будут невозможны, если амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы, построенная по функции или по функции на фиксированных частотах (абсолютная частота которым соответствуют фиксированные псевдочастоты (6.7), не будет заходить

в запретную область. Последняя с запасом может быть представлена в виде сектора с углом

При достаточно больших значениях относительного полупериода т. е. при малых частотах, и годограф нелинейной части стремится к годографу соответствующей нелинейности в непрерывной системе управления.

Рис. 6.5. Типовые л. а. х. симметричного вида.

Рассмотрим типовые л. а. х. симметричного вида, приведенные на рис. 5.33 и соответствующие использованию непрерывных корректирующих средств.

Эти л. а. х. построены на рис. 6.5 совместно с запретными областями для фазовых характеристик, которые определяются сектором, изображенным на рис. 6.4.

Запретные зоны построены относительно фазового сдвига

Высота запретных зон в угловой мере связана с частотой искомых периодических решений:

При высота запретной зоны равна 180°, при равна 90°, при равна 60° и т. д.

Для исключения периодических режимов фазовая характеристика на фиксированных частотах (6.7)

не должна заходить в запретные зоны, построенные для

этого же значения Если фазовая характеристика на фиксированной частоте (6.24) будет находиться в запретной зоне, соответствующей тому же значению то возможно существование периодического режима с частотой

Рассмотрим наиболее тяжелый случай астатизма второго порядка (рис. 6.5, в). Условие, при котором фазовая характеристика не будет заходить в соответствующие запретные зоны на фиксированных частотах, имеет вид

где Формулу (6.25) можно представить в следующем виде:

Для частот меньших, чем частота среза формулу (6.26) с достаточной точностью можно привести к виду

или

Учитывая, что последнее неравенство можно записать в виде

Для обеспечения запаса устойчивости в типовой передаточной функции требуется выполнение неравенства

поэтому неравенство (6.29) с запасом выполняется уже при Это же условие получается для типовых передаточных функций с дискретной коррекцией (таблица 5.5).

Фазовые характеристики для типовых л. а. х. (рис. 5.33, а и б) в области низких частот отстоят от запретной области дальше, чем у рассмотренной выше л. а. х., соответствующей астатизму второго порядка.

Поэтому полученное выше условие невозможности появления периодических режимов будет справедливым и для л. а. х. этих типов.

Рис. 6.6. Типовые л. а. х. несимметричного вида.

Обратимся теперь л. а. х. несимметричного вида.

Наиболее неблагоприятный случай, соответствующий астатизму первого порядка, изображен на рис. 6.6. Этой л. а. х. соответствует дискретная частотная передаточная функция разомкнутой системы при непрерывной коррекции

и при дискретной коррекции

Условие, при котором фазовая характеристика не заходит в запретные области, изображенные на рис. 6.6, можно записать в виде

где эквивалентная сумма постоянных времени для формулы (6.31) и для формулы (6.32). Неравенство (6.33) с запасом можно записать следующим образом:

Отсюда следует условие отсутствия периодических режимов:

При и проверка не должна производиться, так как эти значения соответствуют частотам, превышающим частоту среза, где нет запретных областей для фазовой характеристики. При имеем

Последнее неравенство выполняется при М 1,48. Для статических систем с л. а. х. несимметричного типа полученное условие (6.36) будет выполняться с запасом.

Рис. 6.7. Нормированные статические характеристики входного и выходного преобразователей.

Однако несмотря на то, что в согласованном положении можно добиться отсутствия периодических режимов, в системах с ЦВМ периодические режимы, вызванные квантованием по уровню, будут существовать практически всегда. Это объясняется тем, что при наличии ненулевой установившейся ошибки начальная точка статической характеристики входного преобразователя смещается из начала координат в другую точку (рис. 6.7, а).

Если начало отсчета сместилось в точку 3, то это не дает отличия в получаемой характеристике от исходного случая равенства нулю входного и выходного сигналов. Если начало отсчета сместится в точку 2, то результирующая статическая характеристика будет иметь вид, изображенный на рис. 6.7, б.

Требуемое дробное значение выходной величины преобразователя может быть получено только в результате периодического переключения от уровня к уровню и обратно. Это будет симметричный периодический режим, относительный полупериод которого может быть различным: Системы с ЦВМ стараются делать так, чтобы амплитуда симметричного периодического режима не превышала единицы младшего разряда [64, 85]. Тогда в подобном режиме входная величина ЦВМ (сигнал ошибки) будет представлять собой периодическую решетчатую функцию, изображенную на рис. 6.8. Для этого случая нелинейная зависимость для входного преобразователя может быть записана в виде (см. рис. 6.7, б)

где — переменная составляющая ошибки, вызванная периодическим режимом, — ее цифровое представление.

Рис. 6.8. Пример симметричного периодического режима.

Для определения коэффициента гармонической линеаризации необходимо положить

где — . Далее, используя формулу (6.12) и вводя нормирующий множитель, равный получим для случая из (6.20)

Амплитудно-фазовые характеристики величины — изображены на рис. 6.9, а. Они представляют собой прямые, расположенные во втором и третьем квадрантах.

Для случая аналогичным образом можно получить

Амплитудно-фазовые характеристики представляют собой прямые линии, расположенные в секторе —180° ±45° (рис. 6.9, б).

Рис. 6.9. Амплитудно-фазовые характеристики нелинейного элемента.

При модуль Характеристики расположены в секторе —180° ±30° (рис. 6.9, в).

причем характеристики расположены в секторе (рис. 6.9, г). При что соответствует непрерывному случаю, сектор расположения а. ф. х. стягивается в линию, совпадающую с отрицательной вещественной полуосью.

Уравнение периодического режима имеет вид (6.4). Его можно решить графически (рис. 6.3) или аналитически. В результате, как это показано на рис. 6.10, а, для амплитуда ошибки или, что все равно, амплитуда управляемой величины объекта

Под знаком модуля в (6.41) находится значение частотной передаточной функции при или при

Рис. 6.10. Графический расчет периодических режимов.

При колебаниях с относительным полупериодом если имеется точка пересечения двух годографов, как, например, показано на рис. 6.10, б,

Аналогичным образом для колебаний при (рис. 6.10, в)

где

Следует заметить, что в системе обычно могут существовать симметричные периодические режимы с различными значениями полупериода При этом для каждого конкретного значения периодический режим в случае управляемого объекта без самовыравнивания (астатического) оказывается нейтрально-устойчивым относительно среднего значения управляемой величины. В результате этого ни один из симметричных периодических режимов с фиксированным значением не может существовать длительное время. Медленные движения объекта, вызванные наличием возмущений, приводят к непрерывным переходам периодических режимов от одного значения к другому

Из всех возможных периодических режимов обычно наиболее тяжелым для системы с точки зрения влияния ограниченной линейности канала является режим при Это связано с тем, что при использовании дискретных корректирующих программ ЦВМ, т. е. при более вероятно применение алгоритмов, эквивалентных дифференцирующим контурам, которые вызывают подъем высоких частот.

Выходная величина ЦВМ в режиме симметричных периодических колебаний может быть получена, если входную решетчатую функцию (рис. 6.8) пропустить через фильтр с передаточной функцией Это делается на основании формул § 2.7, которые позволяют вычислить параметры периодического режима на выходе дискретного фильтра при известных параметрах периодического режима на входе.

Покажем, как это делается для случая когда число гармоник оказывается равным единице. В соответствии с (2.204) амплитуда сигнала на выходе ЦВМ (рис. 6.1)

где — цифровые представления входного и выходного сигналов ЦВМ. Пусть, например, в ЦВМ используется алгоритм (таблица 5.9)

Тогда для режима, изображенного на рис. 6.8, при ейшах имеем для

т. е. амплитуда колебаний на выходе ЦВМ превышает амплитуду колебаний на входе в 19 раз. При расчет может быть произведен для каждой гармоники и найдена их сумма.

Покажем теперь, что в системах с типовыми л. а. х. (рис. 5.33) для симметричных периодических режимов амплитуда ошибки при не превосходит половины цены младшего разряда входного преобразователя. Пусть на входе нелинейного элемента (рис. 6,7, б) действует сигнал Запишем амплитуду входного сигнала в виде где — целое, а — дробное число. Начальная фаза должна находиться в пределах

Если начальная фаза удовлетворяет последнему неравенству, то на выходе нелинейного элемента будет последовательность (6.16):

Нормированный коэффициент гармонической линеаризации

В точке пересечения двух годографов (рис. 6.10, а) имеем Так как то получим

откуда

Так как то при из последнего равенства следует, что а дробная часть относительной амплитуды колебаний