§ 6.2. Квазипериодические режимы

Если установившееся значение сигнала на выходе входного преобразователя должно соответствовать точке 2 на рис. 6.7, а, то в системе будет существовать несимметричный периодический режим. Установившееся значение на выходе преобразователя можно представить в виде

где — целое число, а — дробная часть, причем Так как на самом деле на выходе может существовать сигнал или то требуемое значение получается как среднее значение в периодическом режиме. Как среднее в колебательном режиме получается и значение дробной части

где — число тактов, когда на выходе существует величина — число тактов, когда на выходе существует величина — число тактов полного периода колебаний.

Из (6.53), учитывая, что можно найти следующую зависимость:

Знак модуля введен в (6.54) для обобщения на случай произвольного знака Вместо в формуле (6.54) записан средний полупериод по следующим соображениям. Числа и могут быть в каждом реальном цикле колебаний только целыми, произвольное число. Поэтому зависимость (6.53) может, как правило, кроме специально подобранных значений выполняться только в среднем. Так, например, для случая, когда некоторые подобные режимы изображены на рис. 6.11.

В формулах (6.53) и (6 54) числа и могут быть целыми, вообще говоря, для любых значений если под понимать число тактов не в одном цикле колебаний, а в течение многих циклов. Однако при этом все эти числа могут стремиться к бесконечности или во всяком случае быть очень большими. Период колебаний в этом случае не соответствует реально наблюдаемым колебаниям в системе, у которых будет существовать некоторая преобладающая гармоника. Целью введения усредненного периода и является выявление частоты преобладающей гармоники.

Рис. 6.11. Периодический и квазипериодический режимы.

Средний полупериод может быть как целым, так и дробным числом. Средние значения чисел могут быть также целыми и дробными. Такой режим движения будем называть квазипериодическим.

Проблема расчета квазипериодических режимов является весьма сложной. Поэтому ограничимся пока простейшим случаем, когда не в среднем, а в течение всего режима. Тогда формулы (6.53) и (6.54) приобретают вид

Рассмотрим вначале случай, когда — целое число. Для дробных частей по-прежнему имеют место зависимости вида (6.8) и (6.9), а также рис. 6.7, б. Однако комплексное значение амплитуды первой гармоники на выходе входного преобразователя определяется при

более общим выражением:

Это выражение можно упростить, если учесть, что при всех остальных значениях Тогда

так как сумма членов вида равна нулю. Из (6.58) получается нормированный коэффициент гармонической линеаризации

Расчет параметров периодического режима, когда — целое число, не представляет труда. По значению ошибки в установившемся режиме определяется относительный полупериод колебаний Затем из (6.4) находится амплитуда колебаний на выходе системы:

где определяется формулой (6.44). На рис. 6.12 показано графическое построение для

Если представляет собой дробное число, то колебания носят квазипериодический характер. Их приближенный расчет может быть сделан следующими методами.

1) Введем предположение, что при переходе от одного периодического режима с целым значением к другому с новым целым значением амплитуда первой гармоники и частота усредненного периодического режима изменяются непрерывно и плавно. Для частоты колебаний это полностью подтверждается формулой (6.54). Тогда для расчега амплитуды первой гармоники

колебаний можно воспользоваться тем же графическим построением (рис. 6.12) и формулами (6.54) и (6.60) при замене в последней на и 65 на

2) Второй метод заключается в том, что для усредненного периода колебаний, изображенного на рис. 6.13, а с учетом действия экстраполятора (пунктирная линия), находится обычными приемами разложения в ряд Фурье амплитуда первой гармоники:

Далее может быть определена амплитуда колебаний на выходе системы пересчетом на вход (умножением на и умножением на модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы:

Здесь

— круговая частота и псевдочастота периодического режима (частота преобладающей гармоники).

Рис. 6.12. К расчету периодических и квазипериодических режимов.

3) Возможно использование способа расчета, когда рассматривается некоторый дополнительный усредненный режим движения на выходе непрерывной части (6.13, б), полученный припасовыванием на интервалах времени Далее в случае необходимости можно выделить в этом режиме первую гармонику. В отличие от предыдущих двух методов, здесь расчет может производиться и в тех случаях, когда время существования на выходе экстраполятора сигнала не подчиняется условию а может содержать произвольное число тактов.

Пример 6.1. Пусть передаточная функция непрерывной части

Дискретная частотная передаточная функция разомкнутой системы

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи с присоединенным коэффициентом передачи ЦВМ.

Рис. 6.13. Зависимость среднего полупериода от установившейся ошибки.

Режим симметричных колебаний при построен на рис. 6.13, б. Амплитуда может быть найдена методом припасовывания:

Так как из условий устойчивости то Относительный полупериод Первая гармоника этого колебательного режима имеет амплитуду

Первая гармоника может быть также найдена из (6.41) для

Рассмотрим теперь несимметричные колебания. Зависимость от установившегося значения ошибки представлена на рис. 6.14. Точками отмечены целочисленные значения Воспользуемся первым изложенным методом. В соответствии с (6.60)

Рис. 6.14. Режимы колебаний.

При формула (6.69) дает

При использовании второго метода в соответствии с (6.62)

При формула (6.71) переходит в (6.70).

Для того чтобы воспользоваться третьим методом, рассмотрим «средний» цикл колебаний. Он построен методом припасовывания для выходной величины на рис. Амплитуда колебаний

Амплитуда первой гармоники при разложении в ряд Фурье

полностью совпадает со значением (6.69). Все полученные выражения для амплитуды первой гармоники показывают сравнительное постоянство ее для различных значений