Дискретные формирующие фильтры.

Для случая выработки в фильтре одномерного задающего воздействия разностное уравнение может быть записано в виде

где порядок разностного уравнения, а коэффициенты уравнения в общем случае могут зависеть от времени. Уравнение (4.195) соответствует случаю, когда используются слагаемые с запаздывающим аргументом где Подобные уравнения ближе отвечают действительности по сравнению с уравнениями, содержащими члены вида так как предполагают наличие хранящихся в ячейках памяти дискрет задающего воздействия в предыдущие, а не в будущие моменты времени. Для машинизации этих уравнений требуется наличие элементов задержки.

Рис. 4.24. Формирующий фильтр для сигнала типа нерегулярной качки.

Выберем в качестве первой переменной состояния а остальные из условия где Тогда разностное уравнение (4.195) приводится к системе уравнений

Введем матрицу-столбец переменных состояния а также матрицу-столбец сигналов белого шума содержащие компонент каждая. Тогда система уравнений (4.196) сводится к матричным уравнениям, аналогичным в части выработки задающего воздействия формуле (4.140):

Здесь использованы матрицы-столбцы коэффициентов размером

Первый вариант канонической схемы формирующего фильтра, соответствующего разностному уравнению (4.195), изображен на рис. 4.25.

Рис. 4.25. Первый вариант канонической схемы дискретного формирующего фильтра.

Схема содержит элементов задержки на один такт и блоки в общем случае переменных во времени [коэффициентов. На этой схеме и на последующих для упрощения опущены импульсные элементы.

Изображенный на схеме 4.25 формирующий фильтр позволяет вырабатывать кроме самого задающего воздействия и его предыдущие значения . В этом случае матрица, формирующая выходные величины в формуле (4.197), будет иметь строк, где — число используемых дискрет выходного сигнала:

Второй вариант канонической схемы формирующего фильтра изображен на рис. 4.26. Здесь входные величины

элементов задержки уже не будут соответствовать значениям Только при это будет справедливым, что дает возможность достаточно просто вырабатывать две величины Однако второй вариант схемы фильтра более удобен в случае перехода к схеме с отрицательной единичной главной обратной связью, аналогичной изображенной на рис. 4.20.

Рис. 4.26. Второй вариант канонической схемы дискретного формирующего фильтра.

В общем случае разностное уравнение, вырабатывающее задающие воздействия, может быть записано в виде неоднородного уравнения

Здесь коэффициенты в левой и правой частях уравнения могут меняться в функции времени. Структурная схема, соответствующая уравнению (4.202), изображена на рис. 4.27. Так как решетчатая функция в правой части (4.202) представляет собой дискретный белый шум, то все значения ее можно считать независимыми величинами. Обозначив имеем

Здесь величины представляют собой белые шумы с одинаковыми дисперсиями. Далее можно заменить действие -мерного дискретного белого шума эквивалентным одномерным белым шумом с той же дисперсией. В результате вместо (4.203) получим

где коэффициент в правой части

Структурная схема для уравнения (4.204) сводится к изображенным на рис. 4.25 и рис. 4.26 схемам.

Рис. 4.27. Сгруктурная схема дискретного формирующего фильтра для случая неоднородного разностного уравнения.

Если коэффициенты разностного уравнения (4.202) суть постоянные числа, то, перейдя в нем к изображениям, можно найти передаточную функцию формирующего фильтра

При использовании эквивалентного разностного уравнения (4.204) передаточная функция формирующего фильтра (4.206) упрощается и приобретает вид

где определяется формулой (4.205). Пусть задана спектральная плотность стационарного процесса

где некоторые полиномы от , а Ее можно представить как спектральную плотность на выходе формирующего фильтра с частотной передаточной функцией

если дисперсия входного дискретного белого шума равна Из частотной передаточной функции (4.209) можно получить дискретную передаточную функцию формирующего фильтра подстановкой а затем

Эта передаточная функция может соответствовать выражению (4.206). Тогда целесообразно перейти к передаточной функции (4.207) и ей соответствующему разностному уравнению (4.204). Для них может быть использована структурная схема на рис. 4.25 или 4.26.

Полезно обратить внимание на следующее свойство спектральной плотности (4.208):

где — произвольное целое число. Это дает возможность выбрать частотную передаточную функцию формирующего фильтра в виде

что соответствует умножению дискретной передаточной функции фильтра на Свобода в выборе произвольного числа дает возможность получить передаточную функцию формирующего фильтра в наиболее удобном виде.

При учете сказанного передаточная функция (4.207) может быть записана в следующем общем виде:

Следует, однако, иметь в виду, что вводить запаздывание можно только в формирующем фильтре. При воспроизведении модели процесса в оптимальном фильтре (рис. 4.17 и рис. 4.18) дополнительное запаздывание может исказить результат. Поэтому для модели процесса следует принимать либо схему на рис. 4.17, которая предполагает использование в момент только предыдущих значений входного сигнала до либо схему на рис. 4.18, в которой используется входной сигнал, поступивший в момент