Ограниченное значение модуля входного воздействия.

В статических системах наклон первой асимптоты л. а. х. нулевой. Поэтому условие нахождения всей л. а. х. выше запретных областей, изображенных на рис. 5.3, не может быть выполнено ни при каком конечном значении общего коэффициента усиления. В связи с этим статические системы могут работать только при наложении дополнительного условия ограничения модуля входного сигнала.

Установившаяся ошибка в непрерывной статической системе (рис. 5.1, а) при постоянном входном воздействии определяется выражением

где К — общий коэффициент усиления разомкнутой системы. Если в системе управления (рис. 5.1, а) применить главную обратную связь, отличающуюся от единицы, и положить , то установившаяся ошибка будет

Приравняв числитель (5.60) нулю, можно получить условие отсутствия статической ошибки при постоянном значении входного воздействия

При нестабильности коэффициента усиления условие (5.61) нарушается, что ведет к появлению статической ошибки

где — коэффициент ошибки по входному воздействию. Отсюда можно получить требуемое значение общего

коэффициента усиления, если коэффициент ошибки (отношение еуст к задан:

Здесь — возможное относительное изменение общего коэффициента усиления, вызванное нестабильностью коэффициентов передачи и коэффициентов усиления отдельных звеньев канала управления.

К аналогичному результату может привести масштабирование входной или выходной величины [8].

В системе с единичной обратной связью (рис. 5.1, а) при гармоническом входном воздействии вида амплитуда ошибки по-прежнему определяется формулами (5.3) и (5.4). Это дает возможность построить контрольную точку с координатами (5.5) аналогично построению на рис. 5.2, а. Если на входе заданы максимальные по модулю значения входной величины и скорости ее изменения то можно подобрать эквивалентный гармонический входной сигнал

где — произвольная начальная фаза, а эквивалентная кругозая частота должна быть выбрана так, чтобы выполнялось условие тогда координаты контрольной точки (рис. 5.6, а) будут при задании

бгпах стах

При выполнении условий частота будет уменьшаться и точка будет перемещаться влево по горизонтальной прямой, т. е. по прямой с нулевым наклоном. При выполнении условий и сортах контрольная точка будет перемещаться вправо, двигаясь по прямой с отрицательным наклоном Это справедливо до тех пор, пока ускорение эквивалентного режима меньше максимального заданного на входе ускорения т. е. пока выполняется условие Отсюда находится предельная частота положения точки на прямой с

наклоном 20 дБ/дек:

Далее, в соответствии с изложенным выше, точка будет двигаться по прямой с отрицательным наклоном 40 дБ/дек. Эти рассуждения позволяют построить запретную область для л. а. х. так, как показано на рис. 5.6, а. Для того чтобы ошибка в замкнутой системе не превосходила заданного значения разомкнутой системы должна проходить выше запретной области при соблюдении требования наличия в замкнутой системе достаточного запаса устойчивости.

Рис. 5.6. Запретные области по условиям точности для статических систем.

Изложенная методика обеспечения заданной точности в статических системах может быть строго обоснована для типовых передаточных функций разомкнутой системы, которые будут рассмотрены более подробно в § 5.3 и § 5.4. Обоснование может быть сделано аналогично тому, как это было проделано выше для астатических систем с использованием спектральных плотностей вида, изображенного на рис. 3.9, в, с последующим обобщением на спектральные плотности произвольного вида.

Если в статической системе используется неединичная обратная связь 1, то, в соответствии с изложенным, верхняя граница запретной области может быть снижена на величину . Это показано на рис. 5.6, 6.

В дискретных системах построение запретной области для л. а. х. будет аналогичным, если выполняется

условие того, что вся запретная область располагается левее частоты Заметим, что это условие выполняется практически всегда. Запретные области для дискретных систем совпадают с изображенными на рис. 5.5 и 5.6, если круговую частоту со заменить на псевдочастоту к.

Как и ранее, если принять предположение, что соотношения между максимальными и среднеквадратичными значениями одинаковы для процессов то формулы для определения точек излома запретной области для непрерывного случая будут соответствовать выражениям

где — дисперсия задающего воздействия, — дисперсия скорости изменения задающего воздействия, — дисперсия ускорения.

Аналогичным образом для дискретного случая

Для построения запретной области необходимо задать, кроме того, допустимое значение дисперсии ошибки и ожидаемое значение

Обобщая изложенное по методике построения запретных областей для л. а. х., рассмотрим возможные случаи применительно к цифровым системам управления.

1. При задании ограниченного значения только дисперсии второй производной задающего воздействия и при неограниченных значениях дисперсии первой производной и дисперсии самого задающего воздействия запретная область сводится к прямой двойного наклона что показано на рис. 5.7, а.

Как следует из вида запретной области, задача воспроизведения входного сигнала может быть решена только системой управления с астатизмом второго порядка. Минимальное значение общего коэффициента усиления разомкнутой системы определяется выражением

где - заданное значение дисперсии ошибки.

2. При задании ограниченных значений дисперсий второй производной и первой производной и неограниченном значении дисперсии самого задающего воздействия запретная область, образованная прямой двойного наклона, усекается прямой единичного наклона. Это показано на рис. 5.7, б. Здесь задача воспроизведения задающего воздействия может осуществляться как системой управления с астатизмом второго порядка, так и системой с астатизмом первого порядка.

Рис. 5.7. Возможные формы запретных областей по точности.

При астатизме второго порядка минимальное значение общего коэффициента усиления разомкнутой системы определяется по-прежнему формулой (5.69). При астатизме первого порядка минимальное значение общего коэффициента усиления

3. При задании ограниченных значений дисперсий запретная область, образованная прямыми с двойным и единичным наклонами (рис. 5.7, б), дополнительно усекается прямой нулевого наклона. Это показано на рис. 5.7, в. В этом случае задача воспроизведения задающего воздействия может осуществляться как системами управления с астатизмом второго и первого порядков,

так и статической системой. Для астатических систем минимальные значения общего коэффициента определяются формулами (5.69) и (5.70). Для статической системы минимальное значение общего коэффициента усиления для случая единичной главной обратной связи определяется выражением

и для случая неединичной обратной связи — выражением

Оба случая формирования запретной области изображены на рис. 5.6.

Замкнутая автоматическая система, построенная в соответствии с изложенным выше, представляет собой фильтр, который можно назвать предельным. При заданных дисперсиях входного сигнала и его производных дисперсия ошибки будет не больше заданного значения при спектральной плотности входного сигнала любого вида. Только в предельном случае, когда спектральная плотность вырождается в линию, дисперсия ошибки оказывается равной заданному значению.

Построение предельных фильтров предполагает не только выполнение условий по виду низкочастотной части передаточной функции в смысле отсутствия захода в запретную область для л. а. х., но и выполнение условий по запасу устойчивости, так как только при достаточно большом запасе устойчивости могут быть выполнены требования по точности.

Заметим, что чем уже спектральная плотность (рис. 3.9, в), тем более легкими оказываются требования по запасу устойчивости. В предельном случае, когда спектральная плотность вырождается в линию, запас устойчивости может быть любым (условие для показателя колебательности

Рассматриваемые ниже типовые передаточные функции представляют собой, по сути дела, возможные реализации предельных фильтров.

Учет возмущений. Если к проектируемой системе (рис. 5.1) кроме задающего воздействия приложено

внешнее возмущение то при построении контрольной точки или запретной области необходимо учесть дополнительную ошибку, вносимую этим возмущением. Наиболее просто это можно сделать для постоянного возмущения или

Дополнительная статическая ошибка, вызываемая этим возмущением в дискретной системе, в соответствии с рис. 2.24 и формулой (2.179) будет при определяться выражением

Здесь — изображение эквивалентного воздействия на входе системы, — дискретная передаточная функция разомкнутой системы.

В статических системах формула (5.73) приводится к виду

где — коэффициент статизма, а — эквивалентное постоянное задающее воздействие.

Рис. 5.8. Статическая характеристика объекта управления.

Коэффициент статизма может быть определен из статической характеристики объекта управления дающей связь между установившимся значением управляемой величины и постоянным возмущением Коэффициент статизма представляет собой значение производной в точке рабочего режима (рис. 5.8):

где — масштабы на соответствующих осях.

Полученное значение эквивалентного входного воздействия может быть добавлено к входному сигналу . В этом случае запретная область (рис. 5.6, а), построенная для системы с единичной главной обратной связью, должна быть перестроена в соответствии с рис. 5.9, а. При построении запретной области на рис. 5.9, а принято, что заданы максимальные значения первой производной

входного воздействия и второй производной а также максимальное значение ошибки В этом случае минимальные значения коэффициентов усиления определяются зависимостями

При введении неединичной обратной связи горизонтальная прямая, ограничивающая запретную область на рис. 5.6, а, может быть снижена в соответствии с рис. 5.6, б, но только за счет составляющей ошибки, определяемой действительным задающим воздействием

Рис. 5.9. Учет возмущающего воздействия при построении запретных областей.

Составляющая ошибки, вызываемая эквивалентным входным сигналом не может быть снижена за счет неединичной обратной связи. В этом случае минимальное значение общего коэффициента усиления статической системы вместо (5.36) будет определяться зависимостью

Аналогичные зависимости могут быть получены и для случая, когда заданы дисперсии входного сигнала и его первых двух производных Тогда вместо формул будем иметь

и вместо формулы (5.79)

В отсутствие входного сигнала, т. е. при что является характерным для систем стабилизации, запретная область, как таковая, исчезает, но остается требование обеспечения необходимого коэффициента усиления в соответствии с формулой (6.39):

Это условие приводит к фиксации нижнего допустимого положения первой асимптоты л. а. х. (асимптоты нулевого наклона) проектируемой системы.

В системах с астатизмом первого порядка при условии, что возмущение вызывает появление статической ошибки, формула (5.34) приводится к виду

где — коэффициент пропорциональности между возмущением и скоростью изменения управляемой величины при разомкнутой главной обратной связи, — общий коэффициент усиления системы с астатизмом первого порядка, — эквивалентное значение входной скорости.

Аналогично изложенному выше, величина может быть добавлена к скорости изменения входного сигнала.

Тогда запретная область для астатических систем принимает вид, изображенный на рис. 5.9, б.

При задании максимальных значений формулы для минимальных коэффициентов усиления приобретают вид

При задании дисперсий —

В отсутствие входного сигнала запретная область исчезает, но остается требование к общему коэффициенту усиления системы с астатизмом первого порядка в соответствии с формулой (5.85):

которое ограничивает крайнее нижнее положение первой асимптоты л. а. х. проектируемой системы (асимптоты с единичным наклоном).

Влияние периода дискретности. Наличие квантования по времени в цифровых системах может вызвать потерю информации об изменении задающего воздействия внутри интервала дискретности, что приводит к появлению дополнительной ошибки. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Пусть — порядок астатизма исходной системы без экстраполятора, а -порядок экстраполятора. Покажем, что порядок используемого экстраполятора не влияет на результирующий порядок астатизма цифровой системы. Для этого рассмотрим дискретную передаточную функцию разомкнутой системы при которая сводится

к передаточной функции (2.210). При т. е. при имеем для случая

где — общий коэффициент усиления исходной разомкнутой системы. Из последнего выражения видно, что при любом порядке экстраполятора степень астатизма исходной системы сохраняет свое значение.

Рассмотрим теперь влияние астатизма непрерывной части системы на порядок экстраполяции. Пусть непрерывный входной сигнал (задающее воздействие) меняется по зависимости

Тогда при установившаяся ошибка системы управления еуст а при ошибка еуст Первые коэффициентов ошибки при этом равны нулю, т. е. Следовательно, накапливающаяся ошибка на выходе экстраполятора нулевого порядка будет равна нулю при Накапливающаяся ошибка на выходе экстраполятора первого порядка будет равна нулю, если еуст что соответствует На выходе экстраполятора второго порядка накапливающаяся ошибка будет отсутствовать при изменении ошибки системы по закону еуст что допускает значение

Продолжая рассуждения, получим, что на выходе экстраполятора порядка будет отсутствовать накапливающаяся ошибка, если

где — порядок экстраполяции системы, равный сумме порядка используемого экстраполятора и степени астатизма непрерывной части системы. Это означает, что накапливающаяся ошибка на выходе экстраполятора может

вызываться входным воздействием вида (5.92) при Так как в дискретные моменты времени накопившаяся на выходе экстраполятора ошибка сбрасывается, то формула для накапливающейся ошибки внутри такта может быть представлена в виде

Максимум ошибки будет в конце такта при

Отсюда может быть найдено допустимое значение периода дискретности при заданном значении

В качестве величины должно выбираться максимальное значение производной порядка от задающего воздействия

Если входное воздействие представляет собой гармоническую функцию

то формула (5.96) приобретает следующий вид:

Формулы (5.96) и (5.97) позволяют выбрать период дискретности из условия ограничения накапливающейся ошибки экстраполирования.

Так, например, в системе с астатизмом первого порядка при использовании экстраполятора нулевого порядка результирующий порядок экстраполирования Допустимый период дискретности при этом определяется максимальным значением ускорения