Прогнозирование.

Расчет оптимального прогнозирующего фильтра в дискретном варианте совпадает, в основном, с тем, что было изложено в § 4.3 для непрерывных систем. Для нахождения передаточной функции оптимального фильтра здесь удобно вернуться от частотных функций к функциям аргумента Это делается подстановкой а затем . В результате из общей формулы (4.95) получим формулу, аналогичную (4.65):

где — число тактов, на которое осуществляется прогноз, — сомножитель спектральной плотности входной смеси, которому соответствуют корни, лежащие внутри круга единичного радиуса. Знак плюс у фигурных скобок означает операцию выделения реализуемой части передаточной функции, которой соответствуют полюсы внутри круга единичного радиуса.

В частном случае отсутствия помех Поэтому формула (4.112) приобретает вид

Для отыскания реализуемой части выражения в фигурных скобках (4.112) можно воспользоваться обратным -преобразованием:

Здесь — передаточная функция, соответствующая реализуемой части выражения в фигурных скобках (4.112). Если есть искомое обратное преобразование при отсутствии предсказания то на основании теоремы сдвига Тогда передаточная функция будет соответствовать реализуемой части выражения в фигурных скобках (4.112) при отсутствии предсказания. Аналогичным образом для приведенной весовой функции оптимального фильтра можно записать при наличии предсказания

Значение выходной величины фильтра в момент времени можно вычислить через переменные состояния, которые представим в виде матрицы-столбца где — порядок разностного уравнения, описывающего фильтр, и фундаментальную матрицу аналогичную матрице (4.69).

Таким образом, для выходной величины фильтра можно записать формулу, аналогичную формуле (4.70):

где — прямоугольная матрица коэффициентов размером Здесь — число отыскиваемых выходных величин фильтра. В одномерной задаче

Как и ранее, характеристическое уравнение для фундаментальной матрицы должно иметь вид

где — полюсы функции, определяемой вторым сомножителем в формуле (4.112), а — нули функции Схема прогнозирующего устройства

совпадает с изображенной рис. 4.8 при замене непрерывных входных и выходных функций времени на решетчатые функции и замене на

В частном случае, когда помехи отсутствуют, оптимальная передаточная функция без предсказания

Здесь, как и ранее, принято, что Приведенная весовая функция для этого фильтра совпадает с единичной решетчатой импульсной функцией. Характеристическое уравнение, определяющее фундаментальную матрицу в этом случае:

Если прогнозирование производится на фиксированное число тактов то фундаментальная матрица представляет собой совокупность постоянных коэффициентов. Если необходимо произвести в быстром темпе просмотр будущих значений прогнозируемой величины, то фундаментальная матрица реализуется в виде дискретного фильтра, протекание процессов в котором после выставки начальных условий

должно определяться периодом дискретности где — масштаб времени. Этот фильтр должен соот? ветствовать дифференциальному уравнению с возможностью введения начальных условий.

Ошибка прогнозирования может быть получена из формулы (4.73), если заменить процесс интегрирования суммированием:

где дисперсия полезного входного сигнала, определяется формулой (4.114). Формула (4.118) может быть представлена в безразмерной форме:

Для вычисления бесконечной суммы в (4.118) и (4.119) можно использовать приемы, рассмотренные в главе 2.

В соответствии с формулой

Поэтому формула (4.118) может быть записана в виде

В безразмерной форме дисперсия ошибки

При отсутствии помех числитель подынтегрального выражения в формулах (4.121) и (4.122) совпадает со спектральной плотностью входного сигнала. В этом случае

Для прогнозирования на один такт вперед и

Пример 4.5. Рассмотрим прогнозирование случайного процесса со спектральной плотностью вида (3.59):

где эквивалентная постоянная времени

— постоянная времени спектральной плотности исходного непрерывного процесса. Пусть требуется прогнозировать значение входной величины на I тактов

вперед по результатам текущего измерения этой величины при отсутствии помех.

Представим спектральную плотность в виде , где

Перейдем к аргументу

Характеристическое уравнение, определяющее фундаментальную матрицу, имеет два корня: Фундаментальная матрица состоит из одного элемента В данном случае матрица а передаточная функция оптимального фильтра без предсказания Поэтому формула (4.115) приобретает вид

Таким образом, прогнозирующее устройство в данном случае представляет собой безынерционное звено (аттенюатор), коэффициент передачи которого уменьшается с ростом числа тактов, на которое осуществляется предсказание.

Для нахождения ошибки прогноза определим из (4.114) приведенную весовую функцию при

Относительная ошибка прогнозирования в соответствии с формулой (4.123)

Из полученного выражения видно, что при (отсутствие предсказания) дисперсия ошибки равна нулю. При относительная дисперсия ошибки стремится к единице.