§ 2.7. Расчет вынужденных периодических режимов

Если на входе замкнутой системы (рис. 2.12) действует синусоидальная последовательность

то расчет синусоидальных последовательностей может быть сделан на основе формул (2.184) и (2.186) при использовании передаточных функций замкнутой системы.

Так, например, амплитуда ошибки (точнее, верхнее граничное значение синусоидальной последовательности для ошибки)

и сдвиг по фазе

В общем случае негармонической периодической последовательности с периодом М (см. § 2.2) она может быть

представлена в виде суммы конечного числа гармоник:

где — целая часть а коэффициенты разложения

Для каждой гармоники в установившемся режиме может быть сделан расчет в соответствии с изложенным выше для синусоидальной последовательности. Поэтому в установившемся режиме для ошибки можно записать

где — значение частотной передаточной функции, полученное из подстановкой

Аналогичным образом по передаточной функции может быть получена для установившегося режима выходная величина

Более простой метод заключается в следующем. Рассмотрим, например, задающее воздействие представляющее собой периодическую последовательность, изображение которой (2.107):

где — изображение на интервале . Пусть рассматриваемая последовательность действует на входе системы с передаточной функцией Тогда изображение выходной величины

можно представить в виде суммы изображений переходной составляющей и установившегося периодического режима

Первая составляющая определяется полюсами функции и с течением времени затухает, так как система предполагается устойчивой. Периодическая составляющая на выходе может быть представлена в виде

где — изображение на интервале в установившемся режиме, которое и является искомой величиной; коэффициенты должны быть определены при разложении на сумму дробно-рациональных функций Для этой цели могут использоваться известные методы, например теорема разложения. Так, если степень равна степени то

где — корни уравнения

Другие возможные случаи использования теоремы разложения рассмотрены в § 2.2.

Однако при М 1 использование формулы (2.207) сопряжено со значительными трудностями. При невысокой степени знаменателя удобнее найти переходную составляющую а затем периодическую Далее можно найти

Так как полюсы известны, то отыскание переходной составляющей не представляет труда. Так, например, если степень числителя меньше степени знаменателя и полюсы не кратные, то

где — полюсы Если степень числителя одинакова со степенью знаменателя, но

числитель имеет общий множитель то можно записать

Тогда

(По поводу других возможных случаев см. § 2.2.)

Если выходное воздействие представляет собой симметричную периодическую последовательность с полупериодом изображение которой дается формулой (2.108), то аналогичная зависимость для изображения периодической последовательности выходной величины на интервале будет иметь вид

где — переходная составляющая, определяемая полюсами

Пример 2.4. Рассмотрим входную последовательность в виде прямоугольной волны (рис. 2.11, в), но с полупериодом и систему с передаточной функцией

Изображение периодической последовательности на входе (2.115):

Найдем периодический режим на выходе. В соответствии с (2.209), учитывая, что имеет единственный полюс имеем

Отсюда следует, что в установившемся периодическом режиме на выходе, если совместить начало положительного полупериода с началом отсчета, будет . В следующем полупериоде будет