§ 2.3. Передаточные функции непрерывной части ЦАС

Рассмотрим вначале нахождение передаточной функции импульсной системы, содержащей реальный импульсный элемент ИЭ в канале ошибки (рис. 2.12, а). Импульсный элемент генерирует импульсы некоторой формы и продолжительности. Непрерывная часть системы объединена в виде звена с передаточной функцией

От реального импульсного элемента обычно бывает удобным перейти к идеальному. Это можно сделать двумя способами. Можно принять, например, что идеальный импульсный элемент превращает непрерывное значение ошибки на его входе в решетчатую функцию

В формуле (2.116) принято, что смещение что всегда можно сделать выбором начала отсчета времени. Подобный идеальный импульсный элемент изображен на рис. 2.12, б (идеальный импульсный элемент первого рода). Он соответствует, например, устройству дискретного съема информации с объектов различного вида.

Затем решетчатая функция поступает на экстраполятор который из отдельных дискрет ее формирует реальные импульсы заданной формы и продолжительности с амплитудой, пропорциональной каждой дискрете (амплитудно-импульсная модуляция). Реальные импульсы

прикладываются затем ко входу звена с передаточной функцией Совокупность идеального импульсного элемента и экстраполятора эквивалентна импульсному элементу.

Рис. 2.12. К определению передаточной функции импульсной системы

Если поставить задачу отыскания передаточной функции экстраполятора то окажется, что это возможно сделать только для -преобразований или дискретных преобразований Лапласа входной и выходной величин, так как входная величина задана в виде решетчатой функции времени

Можно ввести понятие идеального импульсного элемента второго рода (рис. 2.12, в), считая, что он генерирует с периодом Т последовательность бесконечно коротких импульсов типа -функции, площадь которых пропорциональна сигналу ошибки в моменты времени

Эту последовательность представим в виде

где Далее сигнал (2.117) поступает на экстраполятор который из импульсов типа -функции формирует реальные импульсы заданной формы и продолжительности.

Представление импульсного элемента согласно (2.117) не соответствует действительности, так как никакой импульсный элемент не может генерировать бесконечные по высоте импульсы. Однако такое представление имеет свои преимущества. В этом случае может быть найдена передаточная функция экстраполятора в виде отношения непрерывных изображений Лапласа. Это связано с тем, что для каждого импульса типа -функции, поступающего на экстраполятор, может быть найдено именно непрерывное изображение Лапласа, а не -преобразование. Использование такой передаточной функции экстраполятора удобно вследствие того, что последующее звено с передаточной функцией является непрерывным. Это облегчает изображение структурных схем.

Рассмотрим так называемую приведенную весовую функцию разомкнутого канала управления (рис. 2.12, б). Под этим термином понимается реакция непрерывной части системы совместно с экстраполятором на единичную импульсную функцию которая дается формулой (2.45). Более строго приведенная весовая функция разомкнутого канала определяется как отношение выходного сигнала к высоте единственного импульса на входе экстраполятора (рис. 2.12, б):

Если выходную величину рассматривать только в дискретные моменты времени или , то разомкнутый канал управления будет представлять собой импульсный фильтр. Он может характеризоваться решетчатой весовой функцией или полученной из производящей функции

Заметим, что приведенная весовая функция отличается от обычной весовой функции непрерывного фильтра как своим видом, так и размерностью. Приведенная весовая

функция содержит дополнительный множитель, имеющий размерность времени.

Знание решетчатой функции или позволяет найти реакцию импульсного фильтра на входную величину произвольного вида.

Очевидно, что реакция импульсного фильтра на дискрету будет реакция на дискрету будет реакция на дискрету будет Поэтому

Для дискретных моментов времени

Найдем z-преобразование от левой и правой частей последнего выражения:

На основании формулы свертки (2.76)

где дискретная передаточная функция есть -преобразование от приведенной решетчатой весовой функцйи:

Последняя формула, вообще говоря, очевидна. Так как передаточная функция линейной системы не зависит от вида входного сигнала, то можно положить Изображение единичной решетчатой импульсной функции равно единице. Поэтому передаточная функция импульсного фильтра оказывается равной в этом случае изображению выходной величины, которая представляет собой решетчатую приведенную весовую функцию и формула (2.122) может быть написана сразу.

В случае использования другого понятия идеального импульсного элемента в соответствии с рис. 2.12, б и

формулой (2.117) приведенная весовая функция может определяться аналогичным образом. Если сигнал на входе импульсного элемента в момент времени то на его выходе будет сигнал Приведенная решетчатая весовая функция непрерывной части совместно с экстраполятором будет в этом случае равна отношению реакции на выходе к сигналу на входе т. е. что совпадает с изложенным выше.

Однако в этом случае, поскольку изображение Лапласа единичной функции равно единице, можно считать, что изображение Лапласа выходной величины при воздействии на входе вида совпадает с непрерывной передаточной функцией канала регулирования, т. е. В свою очередь передаточную функцию можно представить в виде произведения передаточных функций экстраполятора и непрерывной части, т. е. Это дает возможность представить структурную схему импульсной системы регулирования так, как это изображено на рис. 2.12, г.

Формула (2.122) указывает на полное сходство с непрерывными системами, у которых передаточная функция есть преобразование Лапласа от весовой функции:

Формула (2.122), определяющая дискретную передаточную функцию импульсного фильтра, может быть записана также в другом виде через введенную передаточную функцию

На выходе дискретного фильтра может рассматриваться смещенная решетчатая функция . Тогда передаточная функция

изображение выходной величины

Однако большинство задач по исследованию импульсных систем может быть решено при использовании передаточной функции которая, в основном, и будет в дальнейшем рассматриваться.

Как следует из полученных выше формул, дискретная передаточная функция должна определяться по приведенной весовой функции непрерывной части. В случае, когда непрерывная часть состоит из параллельно включенных звеньев и ее передаточная функция

дискретная передаточная функция может быть определена суммированием дискретных передаточных функций, определенных для каждого звена в отдельности:

В отличие от непрерывных систем подобное правило не имеет места для случая последовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией

и общим импульсным элементом на входе. В этом случае

и передаточная функция должна сразу определяться по результирующей весовой функции Для последовательного соединения звеньев может, например, определяться по теореме разложения.

Иногда для последовательного соединения, например, двух звеньев результирующая передаточная функция записывается в виде Символ должен рассматриваться как единый и относящийся к операции нахождения дискретной передаточной функции последовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией

Однако в том случае, когда имеется ряд последовательно включенных звеньев, каждое из которых имеет на входе свой импульсный элемент (последовательно включенные импульсные фильтры), результирующая передаточная функция может находиться перемножением дискретных передаточных функций каждого импульсного фильтра:

Непрерывная часть дискретного фильтра может содержать временное запаздывание Тогда дискретная передаточная функция

должна определяться в соответствии с формулами (2.53) и (2.54). Если запаздывание лежит в пределах или то при имеем из (2.53)

При использовании таблицы 2.1 необходимо положить

Нахождение передаточной функции при наличии в канале управления временного запаздывания может также производиться следующим образом. Приведенная весовая функция, входящая в (2.129), более строго должна быть записана в виде где — фукция, тождественно равная нулю при и равная единице при Разложим приведенную весовую функцию в ряд Тейлора по степеням т. В результате получим для

Рассмотрим -преобразование этой функции, равное искомой передаточной функции:

где

Используем приближенные равенства Тогда

Если а следовательно, и все обратные разности в точке равны нулю, и, кроме того, при введении ограничения множитель может быть отброшен, то на основании формулы изображения обратной разности (2.64) передаточная функция может быть записана в виде

где — передаточная функция при отсутствии запаздывания Ряд в квадратных скобках правой части последнего выражения сходится и представляет собой экспоненциальную функцию. В результате получаем

т. (2.131)

Второй сомножитель правой части (2.131) при (или что соответствует переходу к непрерывной системе, приобретает известный вид передаточной функции звена временного запаздывания:

Если то целую часть запаздывания в соответствии с формулой (2.54), можно выделить и учесть в передаточной функции в виде множителя а к дробной части применить формулу (2.131).

Формула (2.131) несколько сложна для практического использования. Поэтому для часто встречающегося случая целесообразно ограничиться линейным членом

ряда Тейлора. В результате получается упрощенная формула

которая и может использоваться.

При нахождении передаточных функций импульсных систем, содержащих экстраполяторы различного вида, удобно использовать для получения изображения Лапласа приведенной весовой функции, в соответствии с рис. 2.12, г, зависимость

где — изображение Лапласа для выходной величины экстраполятора (рис. 2.12, б) при поступлении на его вход с выхода импульсного элемента первого рода единственной дискреты Оно совпадает с передаточной функцией экстраполятора (рис. 2.12, б). Величину можно назвать приведенной передаточной функцией непрерывной части.

Можно использовать на входе экстраполятора вместо функции сигнал более сложного вида, например единичную решетчатую функцию для которой -преобразование будет Тогда передаточная функция экстраполятора может быть найдена из формулы

где представляет собой изображение Лапласа выходной величины в этом случае.

При использовании на входе экстраполятора линейной нарастающей решетчатой функции

z-преобразование которой передаточная функция экстраполятора

где — изображение Лапласа выходной величины экстраполятора в этом случае. Можно применять и более сложные виды входных сигналов.

Рассмотрим теперь нахождение дискретной передаточной функции непрерывной части ЦАС. На рис. 2.13 изображен линеаризованный разомкнутый контур управления системы с ЦВМ. Непрерывный сигнал ошибки поступает на линеаризованный входной преобразователь и рис. 2.3) и приобретает безразмерный (цифровой) вид Далее сигнал преобразуется в решетчатую цифровую функцию соответствующую дискретному опросу входных устройств, идеальным импульсным элементом первого рода и поступает на вход ЦВМ.

Рис. 2.13. Структурная схема одноканальной линеаризованной системы с ЦВМ

На выходе ЦВМ будет цифровой решетчатый сигнал который поступает на вход идеального импульсного элемента второго рода и превращается в сигнал в соответствии с формулой (2.117). Далее сигнал проходит через линеаризованный выходной преобразователь и экстраполятор с передаточной функцией на вход непрерывной части с передаточной функцией

При нахождении передаточной функции непрерывной части она обычно рассматривается совместно с линеаризованными преобразователями Н - К и К — Н.

Заметим, что введение в структурную схему на рис. 2.13 идеального импульсного элемента второго рода сделано с целью формального изображения экстраполятора в виде динамического звена с передаточной функцией Однако в действительности на выходе ЦВМ действует идеальный импульсный элемент первого рода. Поэтому при рассмотрении физических явлений в ЦАС удобнее приведенную передаточную функцию непрерывной части (2.133) определять через изображение импульса на выходе экстраполятор который будет иметь место при поступлении на его вход либо единственной

единичной дискреты либо сигнала более сложного вида.